《2023年数学四考研试题和答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年数学四考研试题和答案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023年探讨生入学考试数学四试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)当x f 0+时，与。等价的无穷小量是(A)1-e(B)In J (C)+y/x-1 (D)1 -C O S yfx l-yJX(2)设函数/(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：(A)若l i m存在，则/(0)=0(B)若lim/(刈十八一。存 在,则/(0)=。.x-0 1 A-0(B)若lim 1 存在，则/(0)=0(D)若存在,则/(o)=o.A-0 x X TO x 如 图，连续函数y=/(x)在区间 3,2,2
2、,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间一2,0,0,2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设 尸 二 二/出，则下列结论正确的是：(A)f(x,y)dxJO J+arcsin ypl”+arcsinv(C)f djL f(x,y)dx3 5(C)F(3)=-F(2)(D)/(3)=F(-2)44(4)设函数/(x,y)连续，则二次积分/(x,y)dy等于J Jsinx(b)d,r /(心JO J-arcsin yW -a r c s in v三 f(x,y)dx2 2(5)设某商品的需求函数为Q=160-2 P,其中Q,P分别表示须要量和价格，假如该商品需求弹性的肯定值等于1,则商品
3、的价格是(A)10.(B)20(C)30.(D)40.(6)曲线y=g +ln(l+e)的渐近线的条数为(A)0.(B)1.(0 2.(D)3.(7)设向量组%线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)a-a2.a2-a ay-a(B)/+%，%+%，%+%(C)al-2a2,a2-2a3,a3-2a1.(D)%+2%,%+2%,%+2?.2-1(8)设矩阵A=-1 2、一 1 -1-n (o 1 ,8=0 12)10 00、0,则A与8o(A)合同且相像(C)不合同，但相像.(B)合同，但不相像.(D)既不合同也不相像 (9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为0(
4、0 的条件下，x的条件概率密度/x i/x ly)为(A)fx(X).(B)fY(y).(C)A U)(y).(D)/r(y)二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.X3 4-X2 4-1(11)lim-(sin x 4-cos x)=.r+x3-.(1 2)设函数 y=,则 y()(0)=.2x+3 v RZ AZ(1 3)设 是 二 元 可 微 函 数，z=f2二,则1二 一 丁 丁=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(x y)dx dy(14)微分方程曳=上dxx满意y|a=l的特解为y 0 1 0 0(1 5)设矩阵A=0 0、0 00 0、1 0,
5、，则 片 的秩为0 10 0,(1 6)在 区 间(0,1)中 随 机 地 取 两 个 数，则 这 两 个 数 之 差 的 肯 定 值 小 于;的 概 率为.三、解答题：1724小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1 7)(本题满分10分)设函数y=y(无)由方程田11丁一犬+丁=0确定，试推断曲线y=y(x)在点(1,1)旁边的凹凸性.(1 8)(本题满分11分)V,x+y设二元函数/(x,y)=1 川+|)，区2计算二重积分J J/(x，y)d b，D其中。=(x,y)|x|+|y|W 2.(1 9)(本题满分11分)设函数/(x),g(x)在a,h上连续，在(a,h
6、)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存 在 六(a,力,使得/1G)=g .(2 0)(本题满分10分)设函数/(幻 具有连续的一阶导数，且满意f(x)=j x2-t2f(t)dt+x2,求/(x)的表达式.(2 1)(本题满分I I分)玉 +/+%=0设线性方程组%+2%+以3=。与方程X+2/+七=。一1有公共解，求。的值及%+4X2+a2 X3=0全部公共解.(2 2)(本题满分11分)设三阶对称矩阵A的特征向量值4 =1,%=2,4 =-2 ,%=(1,-1,1)T是A的属于4的一个特征向量，记B=A54 T +E,其中E为3阶单位矩阵.（
7、I）验证名 是矩阵6 的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量;（I I）求矩阵3.（2 3）（本题满分1 1 分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为2 x y,内）=0 J0 xl,0 y 2y；（I I）求 2 =、+丫的概率密度.1【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当 X-0+时，1 e y/x,yjl+-JX 1 y/x 1 C O S Vx=X,故用解除法可得正确选项为(B).l n1 +X 1 1 1 1事实上，l im l im 3 1+”(1 -4)=而心 +f=1,s。*y/x f Jx 1。*2yfx或hi1 +xl-y/x=l n(l
8、 +x)-l n(l -Vx)=x+ox)+y/x+o(Vx)=G+o(6)x.所以应选(B)【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.类似例题见 数学复习指南(经济类)第一篇【例1.54】【例1.55】.2.【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数,本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特别函数/(幻 去进行推断，然后选择正确选项.【详解】取/(x)=|x|,则lim=0,但/(x)在x=0不行导，故 选(D).3 X事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0,所以分子的极限也必需为0,则可推得/(0)=0,
9、在(C)中，li m 存在，则/(0)=0,r(0)=l im /(幻一,=l im=0,XXT。X-0 XT 0 x所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学第2讲【例2】，文 登07考研模拟试题数学二第一套(2).3.【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得1 ,1F(2)=-22=-n ,2 2/(一2)=J o(x)d x=-J：/(x)d x=/(x)d x=g%=g 3 3所以 F(3)=-F(2)=-F(-2),故
10、选(C).4 4【评 注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.类 似 例 题 见 文 登 强 化 班 笔 记 高等数学第5讲【例1 7】和【例1 8,数学复习指南（经 济 类）第 一 篇【例3.38【例3.40.4.【分 析】本题更换二次积分的积分次序，先依据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.JT【详 解】由题设可知，x ,s i n x y 0 X TO+l n(l +x=8,所以元=0是曲线的垂直渐近线;X f+o o X x+00 XI n 1 +e=0+l i m -上eA=l i m eX-K O|=1 ,人股U T 亶；+l n（l +e，）7 =0,所 以
11、 尸x是曲线的斜渐近线.故 选（D）.【评 注】本题为基本题型，应娴熟驾驭曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.留 意 当 曲 线 存 在 水 平 渐 近 线 时，斜 渐 近 线 不 存 在.本 题 要 留 意e当X f+oo,x -8时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记 高等数学第 6 讲 第 4 节【例 12】，数学复习指南（经济类）第 一 篇【例 5.30】，【例 5.31】.7.【分析】本题考查由线性无关的向量组q,%，%构造的另一向量组男，4 2,夕 3 的线性相关性.一般令（4氏 0）=（1,4,%）A，若网=0,则自,&庆线性相关;若网/0,则口，尾,凡线性无关.但考虑
12、到本题备选项的特征，可通过简洁的线性运算得到正确选项.【详解】由侬 一 口 2）+（4 一%）+（。3 一。1）=0可知应选（A）.或者因为1 0(a,-a2,a2-a3,a3-a -(a1,a2,a-1 1,0 -1-H 10 ,而 1d o0 -11 0=0,-1 1所以O f 。2，。2 。3，。3 ，线性相关，故 选（A）.【评注】本题也可用赋值法求解，如 取 囚=（1,0,0）%=（0,1,0）%=（0,0，1）;以此求 出（A）,（B）,（C）,（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可马上得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记 线性代数第 3 讲【例
13、 3 1 数学复习指南（经济类）线性代数【例 3.3】.8 【分析】本题考查矩阵的合同关系与相像关系及其之间的联系，只要求得A的特征值,并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相像于对角阵，便可得到答案.2-2 1 1【详解】由|花 一 川=1 2-2 1 =4-3）2 可得 =4=3,4=0,1 1 2-2所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.所以A与 8不相像，但是A与 8的秩均为2,且正惯性指数都为2,所以A与 8合同，故 选（B）.【评注】若矩阵A与 B相像，则 A与 8具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通过计算A与 8的特征值可马上解除（A）（C）.完全类似
14、例题见 数学复习指南（经济类）其 次 篇【例 5.17.9.【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率.关键要搞清所求事务中的胜利次数.【详解】p=前三次仅有一次击中目标，第 4次击中目标=C p（l-p）2p =3 p2（l-/?）2,故 选(C).【评注】本题属基本题型.类似例题见 数学复习指南(经济类)第三篇【例1.29】1例1.30】io.【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用x与y的独立性和公式九 八%|)=*，可求解.A(y)【详 解】因为(x,y)听从二维正态分布，且x与y不相关，所 以x与y独立，所以f(x,y)=fx(x)fY(y).故人/(x|y)=/生=迎也=人(外
15、，应 选(A).1fY(y)fY(y)【评注】若(x,y)听从二维正态分布，则x与丫不相关与x与丫独立是等价的.完全类似例题和求法见文登强化班笔记 概率论与数理统计第3讲【例3】，数学复习指南(经济 类)第三篇其次章学问点精讲中的一(4),二(3)和【例2.38】11.【分析】本题求类未定式，可 利 用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.X3 X2 1x3+x2+l 有 +石 +百 o【详解】因为 lim-：-lim-=0,|sinx+cosx|x=ev 2,将 yx=1 代入左式得 C =e,故满意条件的方程的特解为ex =e手，即y=/“，x e 1V lnj c+1【评注】本
16、题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记 高等数学第7讲【例2】，【例3】，数学复习指南（经济类）第 一 篇【例9.3.1 5.【分析】先将川 求出，然后利用定义推断其秩.0 10 0、0 0 0 1、0 0 100 0 0 0【详解】A =A3=r(A)=10 0 0 10 0 0 0、0 0 0 0,、0 0 0 0,【评注】本题为基础题型.矩阵相关运算公式见 数学复习指南(经济类)其次篇其次章第1节中的学问点精讲.16.【分析】依据题意可得两个随机变量听从区间(0,1)上的匀称分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算.图如下：所求概率=2 =【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记 概率论与数理统计第3讲【例11】，数学复习指南(经济类)第三篇【例2.29】，【例2.4717【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】方 程y ln y x+y =0两边对x求导得yy ln y+y 1 +y=0,yB|1 /(2+In y)=l,则 (1)=，.上式两边再对x求导得(y)2y(2+l n
