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1、C1CEBCFBECCFCD2即CE=2EC分析：（2）这类=CF，M，N分别是DE，BF的中点求证：四边形ENFM是平CD是平行四边形AD/BC，AD=BC12,AEFC,DNECDF解；连结AD，则在ADE和CDF中，ADEADF902又 BE AB.BF AC BE BF,BE,CD 的中点1，FN BD2平面几何综合复习【典型例题】：例 3、已知：如图在 ABC中， AB=AC。延长 AB到 D，使 BD=AB，取 AB的中点 E，连结 CD和 CE 求证： CD=2CE分析：（ 1 ）要证长线段 CD是某小量的 2 倍，可在长线段上截取一半，这种方法，叫“截取法” 或（折半法），要证
2、 CD=2CE，可考虑在 CD上截取一半，再证明 CE等于 CD的一半即可。证明：过 B点作 BF/ AC交 CD于 F，1DF CF , 且 BF ACAB/ /AC, 2 ACBBF / /AC, 1 ACB,AB=BD1 21 12 2 ,在 CEB和 CFB 中BE BF1 2BC BC1CEB CFB EC CF CD2即 CE=2EC分析： （2）这类题目还可以将短线延长， 或说加倍法， 证它等于长线段的方法， 也称 “拼加法”。 提示：将 CE延长到 G，使 EG=CE，连结 AG，BG，可证明 ACG BDC，从而得到 CG=CD，因而有 CD=2CE。例 4、已知：如图，在
3、ABC中， D、 E分别在 AB、 AC上， BD=CE，BE、 CD的中点分别是 M， N，直线 MN分别交 AB， AC于点 P、Q求证： AP=AQ分析：这是一道已知中点求证线段相等的问题，往往可以通过中位线，将条件、结论分别转移到可以建立直接联系的图形上，此题要证 AP=AQ，就要证APQ AQP ， M , N 分别是 BE、CD中点，且 BD=CE，又BC是 BDC和 BCE的公共边，取 BC的中点 F，再连 MF、NF，就可以通过三角形中位线定理将已知条件以及要证明的APQ AQP 等量代换到 FMN中，从而可证得 AP=AQ。证明：取 BC的中点 F，连结 FM，FNM，N分别
4、是1FM CE2，则最大边AB与最小边BC关系是；而三条边之间的关系是；（32（2）在ABC中，已知b=4，c=5,A=30,则ABC的等的问题，往往可以通过中位线，将条件、结论分别转移到可以建立，BDDC而DE/AB，故AKABDE131KB2AK12CE=AE， 1= 23， 2= 4， 3= 42并且 M/ CE，FN/ BD， CE=BD， FM=FNFM FNPFMQ= AQM（两直线平行，内错角相等）FNP= APN， APN= AQMAP=AQ例 5、已知： ABC中， AB=AC，D是 AB上一点， E是 AC延长线上一点，BD=CE，DE交 BC于 F求证： DE=EF分析：
5、 DF和 EF分别在 DBF和 ECF中，但这两个三角形并不全等，如何构造全等形呢？只需作 DG/ AC交 BC于 G点，易证 DGF ECF，所以 DF=EF，这种添加辅助线的方法属于中心对称型。例 6、已知 Rt ACB中，AC90 ，CDAB，BE平分ABC，交 CD于 E，EF/ AB交 AC于 F求证： CE=AF分析：要证线段 CE=AF，我们可以将它们转化到两个三角形中，过 E点作 EGBC于 G，所以 EG=DE，这种填加辅助线的方法属于转对称型，再作 FHAB于 H，利用平行线间距离相等， 可易证得 HAF GCE，从而证得 CE=AF，另解还可以过 E点作 KM/ AC交
6、AB于 K，交 BC于 M，证 MCE DKE即可例 7、已知： ABC中， ACB=90 ，AD为 BC边上的中线， E为 AD的中点， CE的延长线交 AB于F，FG/ AC交 AD于 G求证： FB=2CG1分析：要证 FB=2CG，只要证 CG= BF，由于 CG和 BF分别在两个三角形中没有直接的关系，所以寻求另解一条线段作为中介量，建立起 CG和 FB之间的联系，分析题目条件可知1CEG AEF，所以 AF=CG，只要证 AF= 2 FB即可证明：作 D/ CF交 AB于 H，Rt ADC中， AC90 ，E是斜边 AD中点，AC/ FG， 1=EG=EF在 AEF中和 CEG中，
7、有CE AEEG EF5 6AEF CEG中， AF=CGD / CF，E为 AD中点， AF=FHD / CF，D为 BC中点， FH=HB1AF=FH=HB， AF= FBN是平行四边形证法二：证DEMBFN（同证法一）ME=NF同ABCD的面积S=EF，AH=106=60（cm）21分析没有直接的关系，所以寻求另解一条线段作为中介量，建立起CG和求证：四边形DCEF是菱形已知：梯形ABCD中，AD/BC21CG=AF， CG= FB，即 FB=2CG例 8、设 ABC是等腰直角三角形， AB=AC，D是斜边 BC的中点， E，F分别是 AB、AC边上的点，且 DEDF，若 BE=12，C
8、F=5，求：线段 EF的长？分析：这是一道几何中的计算题要求 EF的长，首先发现它在 Rt 它在 Rt EAF中，这时利用勾股定理可求出，连结 AD后可证 ADE CDF解；连结 AD，则在 ADE和 CDF中，ADE ADF 90 ， CDF ADF 90ADE CDF ，又 DAE DCF 45AD=CD， ADE CDF AE CF 5又 AF+FC=AC=AB=AE+BE=5+12=17AF AC FC 17 5 12在Rt EAF中,EF AE2 AF2 13即 EF的长为 13例 9、已知：如图，过正方形 ABCD的顶点 A作直线交 BD于 E，交 CD于 F，交 BC的延长线于
9、G， 若 H是 FG的中点求证： ECCH分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明ECH是 90 即可，此题可先间接证出4+ 5=90 ，从而推出 ECH =90 ，通过 ABE CBE，及 Rt FCG的斜边中线 CH可证得证明：简述：在正方形 ABCD中， 1 2 45AB=BC，BE=BE ABE CBE3= 4，又 H是 RtFCG斜边上的中点CH HG 5 G3 G 4 6 90EC CH例 10、已知：如图在平行四边形 ABCD中，AE=CF，BM=DN求证：四边形 EMFN是平行四边形分析：本题主要是考查平行四边形的判定方法，下面简述两种证法。证法一：
10、ABCD是平行四边形AD/ BC，AD=BC1 2, AE FC, DN BM,DE=BF DBNDEM BFN3 4, MB NFM/ NFEMFN是平行四边形证法二：证 DEM BFN （同证法一）N中，从而可证得AP=AQ。证明：取BC的中点F，连结FM，与计算：已知：等腰三角形ABC的顶角A为120，底边长为20D+BC+AB+CD=2+10+231+231=12+431对角线AC和BD相交于点O，如果AOB的面积是3，那么平行四,3ABD ADB, AED 60 , AED 为等边三角，AF2 BF 212431AB 2ME=NF 同理可证 DEN BFMEN=FMEMFN是平行四边
11、形。例 11、如图：等腰梯形 ABCD中，AD/ BC，对角线 AC和 BD相交于 E，已知， AB60 ，BD=12，且 BEED=5 1，S 梯形ABCD(=)36 3 ，求这个梯形的周长？分析：由 BD=12，且 BE ED=5 1，可得 BE=10，ED=2，易证，DCA 故DAC 60AD=DE=2，同理 BC=10，作 AF 求出 AF DG 6 3, 而BF=2 31故梯形周长为 12+4 31 解：BD 12,且BE EDBC于 F，DG BC于 G，则四边形 AFGD是矩形，由梯形面积公式可GC12BC AD=1210 2 4，再由勾股定理求出 AB=CD, 10, DE 2
12、;5 1 BE梯形 ABCD为等腰梯形， AB CD, AC BDAD=AD ABDAED 60 , AD DE 2同理可求：BC=10DCA DAC ADB 60AED 为等边三角形作 AF BC于 F，DG BC于 G，则四边形 AFGD为矩形FG AD 2, AB AC, ABCAFB DGC 90ABF DCGDCBBF GCS梯形ABCD1BC FG2361210 2 412BC AD AF 36 3, 即1210 2 AF 36 3 AF 6 3，Rt ABF中6 3 2 42同理： DC=2 31梯形周长=AD+BC+AB+CD=2+10+2 31 +2 31 =12+4 31此
13、题综合性较强， 涉及到的知识点很多， 但证明的关键是证出 ABC 是等边三角形， 从而求 出上、下两底的长度，并且要正确添加辅助线。C1CEBCFBECCFCD2即CE=2EC分析：（2）这类，ADECDFAECF5又AF+FC=AC=AB=AE+BE，则FEG=（）A47B46C41D23（9）已知一C于点P、Q求证：AP=AQ分析：这是一道已知中点求证线段相A 9 B 6 C 3 D【综合练习】：一、填空题：（ 1） ABC 中， AB=AC，DE是 AB的中垂线， BCE 的周长为 14 厘米， BC=5厘米，那么 AB的长为厘米。（2 ）若 ABC 的三个外角的度数之比为 3 4 5，则最大边 AB与最小边 BC关系是；而三条边之间的关系是；（3 ）等腰三角形的周长为2 3 ，腰长为 1，则底角等度。（4 ）如图在 Rt ABC 中
