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1、,g(b).第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样都成立.六条件分布1二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的0.(2)归一性f(x,y)dxdy1.(3)若f(x,y)在点(x,y)连续,则f(x,y)2F(0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数xx,yyPxX概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一. 基本概念随机试验 E:(1) 可以在相同的条件下重复地进行;(2) 每次试验的可能结果不 止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果;(3) 进行一次试验之前不能确
2、定哪一个结果会出现.样本空间 S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点( 基本事件):E 的每个结 果.随机事件( 事件): 样本空间 S 的子集.必然事件(S): 每次试验中一定发生的事件. 不可能事件( ): 每次试验中一定 不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算1.A B(事件 B包含事件 A ) 事件 A发生必然导致事件 B发生.2. AB( 和事件) 事件 A与 B至少有一个发生.3. A B=AB(积事件) 事件 A与 B 同时发生.4. A-B( 差事件) 事件 A发生而 B不发生.5. AB= (A 与 B互不相容或互斥) 事件 A与 B不能同时发生.6. AB= 且 A
3、B=S (A 与 B互为逆事件或对立事件) 表示一次试验中 A与 B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运 算 规 则 交 换 律 结 合 律 分 配 律 德 ? 摩 根 律 A B A B A B A B三. 概率的定义与性质其分布完全确定.(2)利用双侧分位点找出W的区间(a,b),使PaWb=1-.(3)由不等式)分别称为2分布的上、下、双侧分位点.3.t分布(1)定义若XN(0,1),Y2(n),且X,Y似然估计.可微,则一般可由0(i=1,2,k)求出最3.估计量的标准(1)无偏性若E()=,则估.3(2).(2),12未知,W=F(n-1,n-1),方差比2/2的置信区
4、间为注意:对于单侧置1 2 i j对于 n 个两两互不相容的事件 A,A , ,An1 2 n1 2 1 21 2 n 1 2 n对于任意 n 个事件 A,A , ,A1 2 n1. 定义 对于E的每一事件A赋予一个实数, 记为P(A), 称为事件A的概率.(1) 非负性 P(A) 0 ; (2) 归一性或规范性 P(S)=1 ;(3) 可列可加性 对于两两互不相容的事件 A,A , (A A= , i j,i,j=1,2,),P(A A )=P( A )+P(A )+ 2. 性质(1) P( ) = 0 ,(2) 有限可加性注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .1 2n,P(A A A
5、)=P(A )+P(A )+ +P(A ) ( 有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3) 若 A B, 则 P(A) P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .(4) 对于任一事件 A, P(A) 1, P(A)=1-P(A) .(5) 广义加法定理 对于任意二事件 A,B ,P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB) .1 2 n+(-1) n-1P(A A A )四. 等可能( 古典)概型1. 定义 如果试验 E满足:(1) 样本空间的元素只有有限个, 即 S=e ,e , ,e 1 2;(2)每一个基本事件的概率相等, 即 P(e )=P(e )= = P(e ). 则称试验
6、E所对应的概率模型为等可能( 古典) 概型.2. 计算公式 P(A)=k / n 其中 k 是 A 中包含的基本事件数, n 是 S 中包含的基本事件总数.五. 条件概率1. 定义 事件 A发生的条件下事件 B发生的条件概率 P(B|A)=P(AB) / P(A)AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),称A,B,C三合分布律1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x,y)(i,jijij的联合分布数,它在x=xk(k=1,2,)处具有跳跃点,其跳跃值为p=PX=x.3.三种重要的离散型随机的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f
7、(x)的积分F(x)=xftdt,-x0 时, 有全概率公式 P(A)=ni 1)0 时 , 有 贝 叶 斯 公 式 P当 P(A)0, P(BP B P A B i i.ni 11 2 n 1 2 k( P(A)0).2. 乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)0).P(A A A )=P(A )P(A |A )P(A |A A) P(A |A A A ) (n 2, P(A A A ) 0)3. B ,B , ,B 1 2 n是样本空间 S 的一个划分(B B= ,i j,i,j=1,2, ,n, B1B B =S
8、) , 则P B P A Bi iii P A(B |A)= P ABiP B P A Bi i六. 事件的独立性1. 两个事件 A,B, 满足 P(AB) = P(A) P(B) 时, 称 A,B 为相互独立的事件.(1) 两个事件 A,B 相互独立 P(B)= P (B|A) .(2) 若 A与 B,A 与 B , A 与 B, , A 与 B 中有一对相互独立, 则另外三对也相 互独立.2. 三个事件 A,B,C 满足 P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C), 称 A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足 P(ABC)
9、=P(A) P(B) P(C), 则称 A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件 A,A , ,A , 如果对任意 k (1k n), 任意 1 i i i n.有P A A i i1 2AikP A P Ai i1 2P A , 则称这 n 个事件 A,A , ,A 相互k)S2(n1)S21212分位点若tt(n),01,则满足n),t(n),t/2(n)分别称t)=0,F()=1.(2)F(x)单调不减,即若xx,12(3)F(x)右连续,即F(x+0)=律.也可列表表示.2.性质(1)非负性0p1.3.(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)归一性f(x)dx=1;(3)Px
10、Xx=x2f(x)dx;(4)若f(x)在点x处连续,11 2 2 1kkkk k1 2则 F(x )F(x ).k k独立.第二章 随机变量及其概率分布一. 随机变量及其分布函数1. 在随机试验 E 的样本空间 S=e 上定义的单值实值函数 X=X(e) 称为随机 变量.2. 随机变量 X的分布函数 F(x)=PX x , x 是任意实数. 其性质为:(1 )0F(x)1 ,F( - )=0,F()=1. (2)F(x) 单调不减, 即若 x x ,1 2(3)F(x) 右连续, 即 F(x+0)=F(x). (4)PxXx=F(x )-F(x ).二. 离散型随机变量 ( 只能取有限个或可
11、列无限多个值的随机变量)1. 离散型随机变量的分布律 PX= x = p (k=1,2, ) 也可以列表表示.其性质为:(1) 非负性 0 P 1 ; (2) 归一性2. 离散型 随机变量 的分布 函数 F(x)=pk 1Pk X x1 .为 阶梯 函数, 它在 x=xk(k=1,2, ) 处具有跳跃点, 其跳跃值为 p =PX=x .3. 三种重要的离散型随机变量的分布(1)X(0-1) 分布 PX=1= p ,PX=0=1 p (0p1) .(2)Xb(n,p) 参 数 为 n,p 的 二kn PX=k=(3)Xek!pk 1 p n k (k=0,1,2, ,n) (0p0).12n+(-1)n-1P(AAA)四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E满足:(1)样本空变量的分布(1)X(0-1)分布PX=1=p,PX=0=1p(0p1).(2)Xb(X)2i1ixE(X)2f(x)dx=E(X2)-E(X)2(级数绝对收敛)(积分绝对收敛)则f(x)=F/(x).注意：连续型随机变量X取任一指定实数值a的概率为零,
