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1、 第3章 三角函数、解三角形第7节 正弦定理和余弦定理考点 正、余弦定理及其应用1（2013新课标全国，5分）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10B9C8 D5解析：选D本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三解形以及方程思想化简23cos2Acos 2A0，得23cos2A2cos2 A10，解得cos A.由余弦定理，知a2b2c22bccos A，代入数据，解方程，得b5.2（2013山东，5分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c()A2 B2C. D1解析：选B本题主
2、要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想由已知及正弦定理得，所以cos A，A30.结合余弦定理得12()2c22c，整理得c23c20，解得c1或c2.当c1时，ABC为等腰三角形，AC30，B2A60，不满足内角和定理，故c2.3（2013辽宁，5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin B cos Ab，且ab，则B()A. B.C. D.解析：选A本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角形内角和定理，意在考查考生对三角函数基础知识和基本技能的掌握情况边换角后约去sin B，得sin(AC)，所以sin B，但B非最大角，所以B
3、.4（2013北京，5分）在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A. B.C. D. 1解析：选B本题主要考查正弦定理，意在考查考生对正、余弦定理掌握的熟练程度，属于容易题依题意，由，即，得sin B，选B.5(2013陕西，5分)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Ba sinA，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，从而sin(BC)sin Asin2
4、A，解得sin A1，A，故选B.答案：B6(2100湖南，5分)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C120，ca，则()Aab BabCab Da与b的大小关系不能确定解析：法一：由余弦定理得2a2a2b22abcos120，b2aba20，即()210，1，故ba.法二：由余弦定理得2a2a2b22abcos120，b2aba20，b，由aab得，ba.答案：A7（2012广东，5分）在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC()A4 B2C. D.解析：由正弦定理得：，即，所以AC2.答案：B8（2012陕西，5分）在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c
5、.若a2，B，c2，则b_.解析：由余弦定理得b2a2c22accos B4122224，所以b2.答案：29（2011新课标全国，5分）ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为_解析：设BCx，由余弦定理得4925x210xcos120，整理得：x25x240，即x3.因此SABCABBCsinB35.答案：10（2010江苏，5分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若6cosC，则的值是_解析：取ab1，则cosC，由余弦定理得c2a2b22abcosC，c，在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tanAtanB，又sinC，tanC2，4.另解：由6cosC得
6、，6，即a2b2c2，tanC()4.答案：411（2013福建，12分）如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值解：本题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想(1)在OMP中，OPM45，OM，OP2，由余弦定理，得OM2OP2MP22OPMPcos 45，得MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，
7、在OMP中，由正弦定理，得，所以OM，同理ON.故SOMNOMONsin MON.因为060，则30230150，所以当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM30时，OMN的面积的最小值为84.12（2013浙江，14分）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin Bb.(1)求角A的大小；(2) 若a6，bc8，求ABC的面积解：本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力(1)由2asin Bb及正弦定理，得sin A.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c
8、2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式Sbcsin A，得ABC的面积为.13（2013天津，13分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B. (1)求b的值； (2)求sin的值解：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力(1)在ABC中，由，可得bsin Aasin B，又由bsin A3csin B，可得a3c，又a3，故c1.由b2a2c22accos B，cos B，可得b.(2)由cos B，得sin B，从而得cos 2B2
9、cos2 B1，sin 2B2sin Bcos B.所以sinsin 2Bcos cos 2Bsin .14（2012江西，12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A；(2)若a3，ABC的面积为2，求b，c.解：(1)由3cos(BC)16cos Bcos C，得3(cos Bcos Csin Bsin C)1，即cos(BC)，从而cos Acos(BC).(2)由于0A，cos A，所以sin A.又SABC2，即bcsin A2，解得bc6.由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c213，解方程组得或
10、15(2011安徽，13分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高解：由12cos(BC)0和BCA，得12cosA0，所以cosA，sinA.再由正弦定理，得sinB.由ba知BA，所以B不是最大角，B，从而cosB.由上述结果知sinCsin(AB)().设边BC上的高为h，则有hbsinC.16(2010辽宁，12分)在ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccosA，故cosA，又A(0，)，故A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sinBsinC1，得sinBsinC.因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形
