《全国高考数学 试题分类汇编 三角函数》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国高考数学 试题分类汇编 三角函数(41页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2010三角函数1.(2010天津高考理科7)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则A= ( )(A) (B) (C) (D)【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。【规范解答】选A,根据正弦定理及得:,。【方法技巧】根据所给边角关系,选择使用正弦定理或余弦定理,将三角形的边转化为角。2.(2010北京高考文科7)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为( )(A); (B)(C) (D)【命题立意】本题考查解三角形的
2、相关知识,用到了面积公式、余弦定理等知识。【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边,从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和。【规范解答】选A。等腰三角形的底边长为。所以班徽的面积为。3.(2010湖南高考理科4)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120,,则( )A、ab B、ab C、a=b D、a与b的大小关系不能确定【命题立意】以三角形为依托,以余弦定理为明线,以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的能力。【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系,然后从方程的角度消元求解.【规范解答】选A.C=120,2a2=a2+b2-2abco
3、s120,a2=b2+ab,()2+-1=0,= 1,ba. 【方法技巧】三角形是最简单的平面图形,是中学数学所学知识最多的图形,在高考中是重点.常常考查边角关系,余弦定理和正弦定理,常常结合不等式和方程来解.尤其是均值不等式的考查.4.(2010北京高考理科0)在ABC中,若b = 1,c =,则a= 。【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。【思路点拨】对利用余弦定理,通过解方程可解出。【规范解答】由余弦定理得,即,解得或(舍)。【答案】1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时,用余弦定理比较好。5.(2010广东高考理科11)已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=
4、1,b=, A+C=2B,则sinC= .【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出、的大小,求出,从而求出【规范解答】由A+C=2B及得,由正弦定理得得,由知,所以,所以【答案】16.(2010山东高考理科15)在中,角所对的边分别为a,b,c,若,则角的大小为 【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据求出B,再利用正弦定理求出,最后求出A. 【规范解答】由得,即,因为,所以,又因为,所以在中,由正弦定理得:,解得,又,所以,所以.【答案】30或7.(2010江苏高考3)在
5、锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,则的值是_。【命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用,等价转化思想。【思路点拨】对条件采用角化边,对采用弦化切并结合正弦定理解决.【规范解答】,由正弦定理,得:上式【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法,即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化。本题若考虑到已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性,可采用以下方法解决:当A=B或a=b时满足题意,此时有:,= 4。【答案】48.(2010辽宁高考文科17)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(
6、2c+b)sinC.()求A的大小;()若sinB +sinC=1,试判断ABC的形状.【命题立意】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理和运算求解能力。【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角(II)利用(I)的结论,求出角B (或角C),判断三角形的形状【规范解答】【方法技巧】利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B
7、+C609.(2010浙江高考文科18)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积,满足。()求角C的大小;()求的最大值。【命题立意】解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能力。【思路点拨】利用面积公式求角C,然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。【规范解答】()由题意可知absinC2abcosC. 所以tanC.因为0C,所以C.()由已知sinA+sinB = sinA+sin(-C-A)sinA+sin(-A)sinA+cosA+sinAsin(A+).当A,即ABC为正三角形时取等号,所以sinA+
8、sinB的最大值是.【方法技巧】求时利用转化为关于角A的三角函数的最值问题。10.(2010辽宁高考理科17)在ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且()求A的大小;()求的最大值.【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换,三角函数的最值。【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角(II)由(I)知角C60-B代入sinB+sinC中,看作关于角B的函数,进而求出最值【规范解答】()由已知,根据正弦定理得即由余弦定理得故 ,A=120 ()由()得: 故当B30时,sinB+sinC取得最大值1。【方法技巧
9、】(1)利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C6011.(2010浙江高考理科18)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知 (I)求sinC的值;()当a=2, 2sinA=sinC时,求b及c的长 【命题立意】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。 【思路点拨】利用二倍角余弦公式求的值。再利用正弦定理求,
10、利用余弦定理求。 【规范解答】()因为cos2C=1-2sin2C=,及0C所以sinC=.()当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理,得c=4由cos2C=2cos2C-1=,及0C得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,b2b-12=0,解得 b=或2所以或。 2011三角函数一、选择题1.(2011浙江高考文科5)在中,角所对的边分别为.若,则(A)- (B) (C) -1 (D) 1【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决.【精讲精析】选D.由可得 所以二、填空题2.(2011安徽高考理科14)已知 的一个内角为120o,并且三边
11、长构成公差为4的等差数列,则的面积为_【思路点拨】设三角形一边的长x,可以用x表示其它两边,再利用余弦定理建立方程求出x,最后利用三角形面积公式求出的面积.【精讲精析】设三角形长为x,则另两边的长为x-4,x+4,那么 【答案】3.(2011福建卷理科14)如图,ABC中,AB=AC=2,BC=,点D 在BC边上,ADC=45,则AD的长度等于_.【思路点拨】结合图形,由正弦定理解得AD.【精讲精析】 在中,由余弦定理易得4.(2011福建卷文科14)若ABC的面积为,BC=2,C=,则边AB的长度等于_.【思路点拨】先由面积为求得AC,然后再用余弦定理求得.【精讲精析】2. 在中,由面积公式
12、得:,.5.(2011新课标全国高考理科16)在中,则的最大值为 . 【思路点拨】利用三角函数知识,化简,统一角变量,然后求最大值.【精讲精析】 令,则由正弦定理得且,(其中当时,取最大值为6.(2011新课标全国文科15)ABC中,B=120,AC=7,AB=5,则ABC的面积为_【思路点拨】用余弦定理求得边BC的值,由求得三角形的面积【精讲精析】 设,由余弦定理,得,解得,7.(2011北京高考理科T9)在中,若,则 ;= .【思路点拨】先利用切化弦与平方关系联立解出sinA,再由正弦定理求出a.【精讲精析】.由正弦定理得,所以.8.(2011北京高考文科T9)在中,若,则= .【思路点拨
13、】利用正弦定理求出.【精讲精析】.由正弦定理得,所以.三、解答题9.(2011安徽高考文科16)在中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,求边BC上的高. 【思路点拨】化简,求出sinA,cosA,再由正弦定理算出sinB,cosB,从而得到sinC,则h=bsinC.【精讲精析】由,和B+C=-A,得再由正弦定理得,由ba,知BA,所以B不是最大角,从而.由上述结果知设边BC上的高为h,则有10.(2011辽宁高考文科17)(本小题满分12分)的三个内角,所对的边分别为、,(I)求;(II)若2=2+2,求【思路点拨】(I)依据正弦定理,先边化角,然后再角化边,即得;(II)先结合余弦定理和已知条件求出的表达式,再利用第(I)题的结论进行化简即得【精讲精析】(I)由正弦定理得,即 故,所以 6分(II)由余弦定理和,得由(I)知,故可得,又,故,所以 12分11.(2011山东高考理科17)(本小题满分12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.()求的值;()若cosB=,b=2, 求ABC的面积S.【思路点拨】(1)本题可由正弦定理直接转化已知式子,然后再由和角公式及诱导公式易知=2.(2)应用余弦定理及第一问结论易知a和c的值,然后利用面积公式求解.【精讲精析】()