《高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (六)(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (六)(含解析)（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章第4节 空间点 直线 平面之间的位置关系解 答 题(6)1.如图，在四棱锥P-A B C D 中，底面A 8 Q 9 是边长为2 百的菱形，48 40 =6 0 ,PD 1 平面AB C Q,PD=2 V 3,E是棱P 上的一个点，D E =(1)证明：B F平面A C E；(2)求三棱锥F-2.如图，直三棱柱48。一公当6中，AC=B点，D C i _ L B D 求证：D C j 1 B C.等,尸 为 PC的中点.-E AC 的体积.1G 一 R3.如图四面体AB C。中，A A B C 是正三角形，40 =C D.证明：AC 1 BD；4.等边三角形ABC的边长为3,点，E分别是
2、边AB,AC上的点，且满足*3=；(如图1),将U D N/ADE沿。E 折起到Z&DE的位置，使 二 面 角 DE-8 为直二面角，连接&B,&C(如图2),(1)求证：ArD 1.B C E D；(2)在线段BC上是否存在点P,使直线P&与平面&B。所成的角为?若存在，求出尸B 的长；若不存在，请说明理由。5.如图，三棱柱4 8。-公&口 中，底 面 为 等 边 三 角 形，侧面A41&B为菱形，且NB44=60。.(1)证明：AB 1 AC；(2)若4B=2,4 传=逐，求三棱柱ABC-41B1G的体积.6.如图，在四棱锥P-AB CD 中，PA _L 平面 AB CD,PA=AB =1
3、,B C=CD =2,AB/CD，乙40cH2(1)求证：PD 1 A B；(2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.7.已知圆台。1。2,轴截面A8CZ),圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点E 为下底圆弧力的中点，点 N 为上底圆周上靠近点A 的 您 的四等分点，经过O r 02,N 三点的平面与弧比交于点M,且 E,M,N 三点在平面A8CD的同侧.(I)判断平面O iM N 与直线CE的位置关系，并证明你的结论；(n)P为上底圆周上的一个动点，当四棱锥P-A B C D 的体积最大时，求异面直线C尸与QB所成角的余弦值.8.如图长方体4BCD-4 1 8 1 6 5
4、 的=1,底面ABC。的周长为4,E 为 的 中 点.(I)判断两直线E G 与A D的位置关系，并给予证明:(11)当长方体4 8。0-&8 1 6。1体积最大时，求 直 线 与 平 面&CD所成角仇9.如 图 ，在矩形ABC。中，E,F在边CD上，B C=CE =F F =F D.沿 B E,AF,将4。85和4 D AF折起，使平面CBE和平面D4尸都与平面ABE尸垂直，如图(2).(I)试判断图(2)中直线C。与 A 8的位置关系，并说明理由;(H)若平面DF4C平面CEB=1,证明：I AB E F.10.已知a u 平面a,4 平面a,8 e 平面a,B a,求证：直线AB和是异面
5、直线.11.如 图 1,在梯形4BC。中，A B/CD,且AB=2CD=4,力BC是等腰直角三角形，其中BC为斜边.若把44CC沿 AC边折叠到团ACP的位置，使平面P4C，平面A B C,如图2.CP(D)D(1)证明：AB L P A；(2)若E为棱8 c的中点，求点B到平面P A E的距离.1 2.如图，已知正方体ABCD-的棱长为6,E,F分 别 是 棱 上 的 点，且CE=CF=2.(1)证明：A、E、F、Di点共面.(2)求几何体CEF-CADi的体积V.1 3.如图，在四棱锥P-4BCD中，PD1平面ABC。，底面A8C是正方形，PD =D C,E,尸分别是4B,PB的中点。pA
6、EB(1)求证：EF 1 CD；(2)在平面PAD内求一点G使GF _ L平面PC B,并证明你的结论。14.如图所示，在空间四边形各边AO,AB,BC,CD上分别取E,F,G,”四点，如果EF,GH交于一点P,求证：点P在直线8。上.15.在正方体48CD-4181cl/中:(1)441与C G是否在同一平面内？(2)点位，C。是否在同一平面内？(3)画出平面A Q与平面B C i。的交线，平面力C D】与平面B O Q的交线.1 6 .已知正三棱柱4 B C-公当6如图所示，点M是线段B C的中点.(1)若平面a平面A MG，&Bu平面a,平面a =N,求 罄 的 值；(2)若A 4 =B
7、 C,求二面角C-4 C 1-M的余弦值.1 7 .在如图所示的多面体中，四边形A8 E G是矩形，梯形。G E F为直角梯形，平面D G E F，平面A8 E G,S.D G 1 G E,D F /G E,AB =2AG =2D G =2D F =2.求证：F G 1平面B E F；(2)求二面角4-BF-E的大小.1 8 .如图，在三棱锥P-AB C中，PA=PC,AB =B C,。是A C的中点，P0 1 B O,PO =AC=2,B O=3.(I)证明：a c i P B；(n)求三棱锥a -PBC的体积.1 9 .如图，在梯形 4D E 8 中，AB/D E,AD =D E =2AB
8、,AC T)是正三角形，AB A C D,且产是C。的中点.(1)判断直线A F与平面B C E的位置关系并加以证明;(2)求平面B C E与平面4C。所成锐二面角的大小.2 0 .在直角梯形AB C。中，AB =B C=2,CD =4,B C 1 D C,AE 1 D C,M,N两点分别在线段AD,B E上运动，且O M =E N(如图1).将三角形A O E沿A E折起，使点。到达劣 的位置(如图2),且平面，平面AB CE.(1)判 断 直 线 与 平 面A C E的位置关系并证明；(2)证明：MN的长度最短时，M,N分别为4 5和B E的中点；(3)当MN的长度最短时，求平面5MN与平
9、面E M N所成角(锐角)的余弦值.【答案与解析】1.答案：解：（1）连接8 0,设B 0 r M C =。，取P E的中点G,连接B G,0 E,FG,在aBO G中，因为0,E分别为B D,D G的中点,所以OE /BG.又B G仁平面AEC,OE u 平面AEC,所以B G 平面AE C.同理，在 A P E C 中，FG I ICE,F G(Z.A E C,C E C 平面4EC,FG 平面 AEC.又GBCGF=G,GB,GF C 平面BFG,所以平面B FG 平面AEC.因为B F u 平面BFG,所以B F 平面AC E.(2):由(1)知B F 平面 AC E,所 以%_ E
10、4c =B-EAC,乂/-E 4c =E-ABC,所 以%-E 4C =E-ABC-因为 A C=24Bsin60=6，OB=V 3，DE=，3所以，VF-EAC=E-ABC=|X 竽 X 手=2 .解析：本题主要考查空间中直线与平面的位置关系，与棱锥的体积，属于一般题.(1)建立如图所示的坐标系，结合相关定理即可推出结论.(2)利用(1)中的结论，结合题中所给信息，即可推出结论.2.答案：证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于。为的中点，故。C=DC 又=可得DC：+D C2=C C f,所以。G 1 0C.而DC 1 B D,C D d B D =D,所以OQ，平面8CO.因为BC u平
11、面B C D,所以DC11 B C.解析：略3.答案：证明：取AC中点。，连结。、B O,ABC是正三角形，AD =CD,：D O 1 AC,B O 1 AC,v D O C t B O =0,D O,B O u 平面 B D O,AC 1 平面 B D Ov B D u 平面 B D O,AC 1 B D.解析：本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力及空间想象能力，属于基础题.取4 c中点。，连结D O.B O,推导出DO LA C,B O 1 AC,从而AC _ L平面B D O,由此能证明AC 1 B D.4.答案：证明：正 ABC的边长为3,
12、且*=m=jUD DA N AD=1,AE=2,4OE中，/.D AE =60,由余弦定理，得D E =Vl2+22-2 x 1 x 2 X cos600=V3.v A D2+D E2=4=AE2,：.AD 1 D E.折叠后，仍有4。IDE,二面角必-DE-8成直二面角，二 平 面&OE，平面B CE D,又.平面4D E n平面BCED=D E,AXD u 平面4 即，AtD 1 D E,，平面 B C E D；(2)解;假设在线段8 c 上存在点P,使直线P 4 与平面&B 0所成的角为全如图，作PH 1B D 于点H,连接&H、&P,4】,3由(1)得平面B C E D,而PH u 平
13、面B CE D,所以&D_L PH,ArD,8。是平面4 B 0 内的相交直线，PH 1 平面&B0,由此可得4 P 4 H 是直线P 4 与平面4 8。所成的角，即NP&H=%设PB=x(0 W x W 3),贝 iJBH=P BC O S?=5，PH=PB sin60=x,3/2在R tA P&H 中，NP&H/所以&H=|,在R tA O&H 中，ArD =1,D H =2-x,由41。2+。”2=&“2,得 12+(2 一：乃2=(|X)2,解之得x=|,满足0W xW 3符合题意，所以在线段2 c 上存在点尸，使直线“与平面4 B 0 所成的角为60。，此时P B=|.解析：本题给出
14、平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于拔高题.等边 4BC中，根 据,=；得到4D=1B.AE=2,由余弦定理算出DE=6，从而得到8 屏+D E2=AE2,所以4。1 DE.结合题意得平面&OE _L 平面B C E D,利用面面垂直的性质定理，可证出。1 平 面 B CE D-,(2)作PH 1 B。于点H,连接治“、4 P,由4 道，平面5CED得所以PH 1 平面&BD,可得N P aH 是直线P 4 与平面&BD所成的角，即 4/=60。.设PB=x(0 x 则 4 =0C2+0Ar
15、2,所以OAi 1 0 C,又OAilAB,因为OCC4B=。，0C,4B u平面ABC.所以。必 _L 平面A8C,即。4 为三棱柱ZBC-4 送 心 的高，又2力 BC的面积SA.BC=V3,所以三棱柱ABC-4B1C1的体积U=SM B C。4 1=3.解析：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，属于中档题.(1)取 4 8 中点O,连结OC,0Alt AXB,可通过证明4B _L 平面041c得要证的结论；(2)可得。C=。4=遍，由勾股定理得到。为，0 C,再根据。4 1 A B,得到。4 为三棱柱ZBC-&B1G的高，进而得出三棱柱ABC-的体积.6.答案：解：(1
16、)证明：由P4 1平面ABC。，P A LAB,由得40 J.CO,又 AB C D,所以 AD J.AB,又A D C P 4=4,故 ABI平面 PAD,又PD u 平面P A D,所以PD 1 AB.(2)解法一：在平面A8CZ)中，过 4 作4E 1 BC交C B的延长线于E,连接PE,过 A 作4G 1 PE 于 G,连 接 CG.由 P 4，平面 A B C D,得 PA 1 B C,又 4E I B C,AE(PA=A,故 BC1 平面 P A E,又 BC u 平面 PB C,所以平面PBC 平面尸A E,易知平面PBCn平面P4E=P E,结合4G _ L PE得4G _L 平面P8C.故乙4CG是直线AC与平面P B C所成的角.在四边形ABCD中，可得AC=夕，在三角形ABE中，可得4E=3,2在三角形PAE中，可得4G=每，7V21-在Rt 4G。中，sinZ-ACG =-y=-=2 1C V7 7故直线AC与平面P B C所成角的正弦值为手解法二：等体积法.l c x n 1 V3.yf3V p-A B C =S A BC .4 P =X w X 1 =w，在
