专题18 全等三角形 【专题目录】技巧1：全等三角形判定的三种类型技巧2：构造全等三角形的六种常用方法技巧3：证明三角形全等的四种思路【题型】一、全等三角形的性质【题型】二、全等三角形的判定（SSS）【题型】三、全等三角形的判定（SAS）【题型】四、全等三角形的判定（AAS）【题型】五、全等三角形的判定（ASA）【题型】六、全等三角形的判定（HL）【题型】七、全等三角形综合问题【题型】八、角平分线的判定定理【考纲要求】1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等【考点总结】一、全等三角形及其性质全等三角形及其性质全等图形概念能完全重合的图形叫做全等图形. 特征：①形状相同②大小相等③对应边相等、对应角相等全等三角形概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换变换方式（常见）：平移、翻折、旋转全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等考点总结】二、全等三角形的判定全等三角形的性质与判定概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．性质全等三角形的对应边、对应角分别相等．判定(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．角平分线角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。
技巧归纳】技巧1：全等三角形判定的三种类型【类型】一、已知一边一角型题型1：一次全等型1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的中线．题型2：两次全等型2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD.【类型】二、已知两边型题型1：一次全等型3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由．题型2：两次全等型4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.【类型】三、已知两角型题型1：一次全等型5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB＝OC.题型2：两次全等型6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.参考答案1．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△DBE≌△DCF.∴BD＝CD.∴D是BC的中点，即AD是△ABC的中线．2．证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC，BD的延长线于点M，N.∴∠M＝∠N＝90°.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.在△ACM和△ADN中，∴△ACM≌△ADN(AAS)．∴AM＝AN，CM＝DN.在Rt△ABM和Rt△ABN中，∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．∴BM＝BN.∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.3．解：BF⊥AE.理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.又∵BC＝AC，BD＝AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．∴∠CBD＝∠CAE.又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.4．证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°.在Rt△ACE和Rt△BDF中，∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)．∴∠A＝∠B.∵AE＝BF，∴AE－EF＝BF－EF，即AF＝BE.在△ACF和△BDE中，∴△ACF≌△BDE(SAS)．5．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴∠ADO＝∠AEO＝90°.∵AO平分∠BAC，∴∠DAO＝∠EAO.在△ADO和△AEO中，∴△ADO≌△AEO(AAS)．∴OD＝OE.又∵CD＝BE，∴CD－OD＝BE－OE，即OC＝OB.6．证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB(AAS)．∴AC＝DB.又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.在△FAC和△FDB中，∴△FAC≌△FDB(AAS)．∴CF＝BF.技巧2：构造全等三角形的六种常用方法【类型】一、翻折法1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.【类型】二、构造法2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.【类型】三、旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．【类型】四、平行线法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.【类型】五、倍长中线法5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【类型】六、截长补短法6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.参考答案1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，∴△ABD≌△FBD(ASA)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.在△ABH和△ADF中，∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝∠HAF＝45°.[来源:学科网]点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.∴OD＝OQ，AD＝AQ.又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.∴过点D作DM⊥BQ，∴∠DMB＝∠DMO＝90°.又∵DM＝DM，∴△DMB≌△DMO.∴BD＝OD.∴BD＝OQ.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.∴∠BOP＝∠APB，过点B作BN⊥OP，∴∠BNO＝∠BNP＝90°，又∵BN＝BN，∴△BNO≌△BNP.∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.5．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.∴AC＝EB.∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.(2)解：∵AB－BE
