《新高考数学一轮复习课时过关练习第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学一轮复习课时过关练习第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (含解析)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与_，与B，与也都相互独立.2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式利用古典概型，P(B|A)；概率的乘法公式：P(AB)P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地
2、，设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i1，2，n，则对任意的事件B，有P(B)，我们称上面的公式为全概率公式.1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)1.()(2)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率.()(3)P(A)P(A)P(B|
3、A)P()P(B|).()(4)P(A)P(BA)P(B).()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)0；(3)P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|)；(4)P(B)P(BA)P(B).2.(易错题)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为()A. B. C. D.答案C解析设Ai“第i次通过第一关”，Bi“第i次通过第二关”，其中i1，2；由题意得，选手能进入第三关的事件为A1B1A2B1A1B2A2B
4、2，所求概率为P(A1B1A2B1A1B2A2B2).3.(易错题)(2021滁州期末)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为()A. B. C. D.答案A解析设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨.根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率为P(B|A).4.(2021新高考卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示
5、事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立答案B解析事件甲发生的概率P(甲)，事件乙发生的概率P(乙)，事件丙发生的概率P(丙)，事件丁发生的概率P(丁).事件甲与事件丙是互斥事件，不是相互独立事件，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为，P(甲丁)P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为，P(乙丙)P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.5.(2022青岛检测)质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过
6、质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为()A.0.4 B.0.16 C.0.68 D.0.17答案C解析设Ai表示第i次打击后该构件没有受损，i1，2，则由已知可得P(A1)0.85，P(A2|A1)0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)0.850.800.68，即该构件通过质检的概率是0.68.6.(2021天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲
7、、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为_.答案解析由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为；在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C.考点一相互独立事件的概率例1 (2020全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求甲连胜四场的概率；(
8、2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.解(1)甲连胜四场的概率为.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，.因此丙最终获胜的概率为.感悟提升求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(
9、如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.训练1 在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立.(1)求乙答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.解(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P(B)x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A，B，C是相互独立事件.由题意可知，P(A)，P()P()P()(1x)，解得x，所以乙答对这
10、道题的概率为P(B).(2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)y，由题意可知，P(BC)P(B)P(C)y，解得y.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P()P()P()P().所以甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率为P(M)1P().考点二条件概率例2 (1)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A. B. C. D.答案B解析设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)，P(AB)，故P(B
11、|A).(2)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是()A. B. C. D.答案D解析记A“第一次摸出的是次品”，B“第二次摸到的是正品”，由题意知，P(A)，P(AB)，则P(B|A).感悟提升求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).训练2 (1)某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击
12、中10环，则随后一次击中10环的概率是()A. B. C. D.答案B解析设该选手某次击中10环为事件A，随后一次击中10环为事件B，则P(A)，P(AB)，某次击中10环，随后一次击中10环的概率是P(B|A).(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_.答案0.72解析设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗).依题意P(B|A)0.8，P(A)0.9.根据条件概率公式P(AB)P(B|A)P(A)0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.考点三全概率公式的应用例3 甲、
13、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率.解设B“飞机被击落”，Ai“飞机被i人击中”，i1，2，3，则BA1BA2BA3B，P(B|A1)0.2，P(B|A2)0.6，P(B|A3)1，由全概率公式，得P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3).为求P(Ai)，设Hi飞机被第i人击中，i1，2，3，且H1，H2，H3相互独立，则P(H1)0.4，P(H2)0.5，P(H3)0.7，故P(A1)P(H
14、1231H2312H3)P(H1)P(2)P(3)P(1)P(H2)P(3)P(1)P(2)P(H3)0.36，P(A2)P(H1H23H12H31H2H3)P(H1)P(H2)P(3)P(H1)P(2)P(H3)P(1)P(H2)P(H3)0.41，P(A3)P(H1H2H3)P(H1)P(H2)P(H3)0.14.于是P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.360.20.410.60.1410.458，即飞机被击落的概率为0.458.感悟提升利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i1，2，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.训练3 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不合格品的概率是多少？解设A“任取一件这种产品，抽到不合格品”
