2023年中考数学重难点04 最值（范围）问题

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1、重难点0 4 最 值（范围）问题命题趋势最值问题，在中考里，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方。在各地中考种都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。J满分技巧1）.在代数部分最值问题，多出现在函数部分，无论是一次函数还是二次函数，都需要先求自变量的取值范围，再求函数解析式，根据实际问题，求得最值。有关内容在前面的一次函数、二次函数中都有诸多体现。近几年，利用配方法求最值来解决一些实际问题，也常常见到。2）.在几何最值问题，几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：（1）几何图形中在特殊位置下的最值；（2）比较难的线段的最值

2、问题，其依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；借助于圆的知识；二次函数的最值法解决。3）几何最值问题中的基本模型举例1）将军饮马模型将军图形P 1M N 1V饮原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系马A,8为定点，/为定直线，A，8为定点，/为定直线，M N 为直线1为定点，/为定直线，模特征P为 直 线/上的一个动上的一条动线段，求 A M+8 N 的最小值P为 直 线/上的一个动型点，求 A P+B P 的最小值点,求I A P-B P I 的最大值作其中一个定点关

3、于定先平移AM或 BN使 M,N重合，然后作其中一个定点关于定转化直线/的对称点作其中一个定点关于定直线/的对称点直线/的对称点2）胡不归模型在解决胡不归问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短。【模型解读】一动点尸在直线MN外的运动速度为,在直线MN上运动的速度为匕，且A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的 位 置 使 生+生 的 值 最 小.（注意与阿氏圆模型的区分）匕 V,2）构造射线A。使 得sin/D4N=火，翳=3。=必。,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过8点作交MN于 点C,交A于 点，此 时BC+CH取到最小值，即BC+C最小.【解题关键】在求形如“以+枕8的式

4、子的最值问题中，关键是构造与枕B相等的线段，将“以+狂生”型问题转化为“双+PC型.（若k l,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。3）阿氏圆模型【模型解读】如 图I所示，。的半径为r,点A、B都在。外，P为。上一动点，已知片A O B,连接尸4、P B,则 当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2,在线段0 8上截取0C使。C=k 厂，则可说明 8P 0与 PC0相似，B|J k-PB=PC.故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏

5、圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“hR4+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当尸点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.4）瓜豆模型（动态轨迹问题）【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。（初中阶段动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型）【最值原理】1.动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；当某动

6、点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线：若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。2.动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下：见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形；见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形。5）费马点模型【模型解读】结

7、论：如图，点M为 ABC内任意一点，连接AM、B M、C M,当与三个顶点连线的夹角为120。时，MA+M8+MC的值最小。注意：上述结论成立的条件是A 8C的最大的角要小于120,若最大的角大于或等于120,此时费马点就是最大角的顶点4。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120。）费马点的作法：如图3,分别以A 8C的AB、A C为一边向外作等边 ABE和等边A C F,连 接CE、BF,设交点为M,则点M即为 ABC的费马点。限时检测限时检测1:最新各地模拟试题（60分钟）1.（2023山东淄博 校考一模）如图，矩形A8C。中，AB=4,4）=2,E 为 A 8的中点，F 为E

8、 C 上一动点，P 为 ）尸中点，连接P B,则尸3 的最小值是（）C.V2D.2正42.（2023 安徽淮北淮北一中校联考一模）如图，在RtZXABC中，Z A B C =90,sinZACB=-,BC=5,点。是斜边AC上的动点，将线段8。绕点B旋转60。至 B E,连接C,D E,则CE的最小值是（)3.（2023山东泰安校考一模）如图，矩形ABC。中，A B =2,BC=3,以A为圆心，1为半径圆A,E 是圆A上一动点，P 是 BC上一动点，则尸E+PD 最小值是（）A.2逐 B.2.5 C.4 D.34.（2023安徽合肥 统考一模）如图，在一ABC中，4 A C =90。，A8=A

9、C=4,P 是 BC下方的一动点，记ABC,PBC的面积分别记为耳，邑.若$=2 邑，则线段钎 长的最小值是（）AC.3五D.V2+15.（2023四川绵阳 统考二模）如图，在中，AC=8,ZA=30/B =45。，点 P 是AC延长线上一动点，P M J.BC边与点M,P N L A B 边与点、N,连接则MN的最小值为（）A.&+遍 B.1 +如 C.&+6 D.2V2+36.（2023安徽马鞍山校考一模）ABC为等边三角形，D、E 分别是边A 3、BC上的动点，且满足4）=,M 是。E 的中点，若 AB=2,则 8M 的最小值为（）c D.17.（2023 安徽合肥合肥市第四十五中学校考

10、一模）如图，RtZA8C中，N4C3=90。，Zfl4C=6O。，点。是边BC上一动点，以点A 为旋转中心，将 AO顺时针旋转60。得到线段A E,连接C E,若 AC=1,则CE的长的最小值为（）C.1 D.V28.（2023浙江宁波校考一模）如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（-3,4）,A的半径为2,P 为尤轴上一动点，PB切A于点B,则PB的最小值为（)C.2 x/3D.49.（2 0 2 3 广西 中考模拟）把二次函数丁 =奴 2+版+c（q 0）的图象作关于x 轴的对称变换，所得图象的解析式为 =一。一1）2+4。，若（7-l）a+0+cW 0,则 m 的最大值为（）A.-4

11、B.0 C.2 D.61 0.（2 0 2 2 浙江 中考模拟）已知二次函数y=N,当心无匕时机 0W ，则下列说法正确的是（）A.当”-加=1 时，h-a 有最小值 B.当时，h-a 有最大值C.当 b-a=l 时，-无最小值 D.当 b -。=1 时，-机有最大值1 1.（2 0 2 3 四川巴中 校考一模）如图，在边长为3 的 等 边 4 3 c 中，E、尸分别是边AC、BC 的动点，且 A E =C F,连接B E、瓶 交于点P,连接C P,则C P的最小值为.1 2.（2 0 2 3 四川成都模拟预测）已知：如图，R tZ X A B C中，Z A C B =90,ACBC=2,圆

12、C 半径为6,P为斜边A 8 上的一个动点，P M、PN分别与圆C 相切于V、N,连接M N交 PC 于点Q,则A。的最小值为1 3.（2 0 2 3 山东济南济南外国语学校校考模拟预测）如图，在矩形A B C。中，A B =4,A O =6,点E,F分别是AD,D C边上的动点，且 EF =4,点G 为 E F 的中点，点 尸为BC上的一动点，则 PA+PG 的最小14.（2023内蒙古中考模拟）在平面直角坐标系中，已知A（1,m）和 5（5,“。是抛物线丁 =1+必+1上的两点，将抛物线y=f+b x+l 的图象向上平移是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴没有交点，则”的 最 小 值

13、为.15.（2023 四川成都统考一模）已知矩形ABCD中，AB=2A=8,点 E、F分别是边AR CD的中点，点 P为 AO边上动点，过点尸作与4 5 平行的直线交AF 于点G,连接P E,点用是PE中点，连接M G,则 G 的最小值=.16.（2023 上海金山统考一模）如图，ABC为等腰直角三角形，NA=90。，AB=6,Q 为,ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰RtZCO（点。在直线BC的上方），G?为R taC D E的重心，设G、G?两点的距离为止 那么在点E 运动过程中d 的取值范围是.17.（2023山东东营校考一模）如图，在边长为4 的菱形ABC。中，

14、44=60。，是AO边上的一点，且A M=-A D,N 是 A3边上的一动点，将 一 AMN沿 MN所在直线翻折得到ZvlM N,连接A C,则AC长度4的最小值是.CD18.（2023山东泰安 新泰市实验中学校考一模）已知菱形ABC。的边长为1,ZDAfi=6O,E为AO上的动点，尸在CQ上，H A E+C F =l,设ABE厂的面积为九 A E =x,当点E运动时，则 与x的函数关系式是.19.（2022 湖北十堰统考二模）如图，已知，正 4 3 C中，A B =2,将A fiC沿A C翻折，得到八4。，连接8 0,交A C于。点，E点在。上，且EE=2OE,F是8 c的中点，P是A C上

15、的一个动点，则PFPE的 最 大 值 为.20.（2022 广东佛山校考一模）在边长为1的正方形A8CO中，M是边A 8的中点，P是对角线A C上的动点，则&P M-P A的最小值为.21.（2023陕西西安西安市曲江第一中学校考三模）如图，等边M 8 C中，AB=6,P为A 8上一动点，P D L B C,P E L A C,则 DE 最小值为.22.（2023 江苏镇江市九年级期中）点P（?，）在以y轴为对称轴的二次函数丫=9+办+4的图象上.则?-n的最大值为23.（2023广西九年级模拟）如图，在 R t_A B C 中，A B=A C=4,点 E,F分别是AB,AC的中点，点 P是扇

16、形AEF 的 上 任 意 一 点，连接8P,C P,则 B P+C P 的最小值是24.（2022.四川成都市.中考模拟）如图，在矩形ABC。中，AB=4,B C =3,E,尸分别为A B，C D边的中点.动点P 从点E 出发沿 4 向点4 运动，同时，动点。从点F 出发沿F C 向点C 运动，连接P Q,过点8 作 6 ，P Q于点，连接。H .若点P的速度是点Q的速度的2 倍，在点P从点E 运动至点A的过程中，线段P Q 长度的最大值为,线段。长 度的最小值为.25.（2022 湖南中考模拟）已知直线 =依-2 与抛物线y=%2-力x+c（b,c 为常数，b 0）的一个交点为A（1,0）,点M（m,0）是 x 轴正半轴上的动点.（1）当直线y=2 与抛物线y=V 一法+c（b,c为常数，b 0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求 k,b,c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）点 D 在抛物线上，且点D 的横坐标为右+；,当0 4 M +2 0 M 的 最 小 值 多 写 2 时，求 b 的值.2 6.（2 0 2 3 广东东莞东莞市东华初级中学校考模拟预测）如图所示，A B 是