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1、本资料为word版2023年整理九年级反比例函数中的几何图形存在性问题归纳总结.docx 专题反比例函数中的几何图形存在性问题 1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数（叱0）与反比例函数尸鸟（启0）的图象交于第二、四象限乩5两点，过点月作曲_L_轴于止=4,sn冷，且点5的坐标为（m-2.5 (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)5是y轴上一点，且月比是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的七点坐标.3【解答】 (1)一次函数y=4田6与反比例函数丫=典图象交于月与5且出ZL_轴,_：.ZADO=90,在RtZLW中，出?=4,snZAOD=.即47=5,5A05根据勾股定理得：加=
2、叱11=3,：.A（-3,4）,代入反比例解析式得：力=-12,即y=-22,把5坐标代入得：a=6,即6（6,-2）,代入一次函数解析式得：一孔坨=4,解得:6k b=-22-93，即y-a 2：(2)当。氏=0Ez=Ag5,即艮(0,-5),瓦(0,5)：.当Q4=月瓦=5时，得至J组=2祖=8,即属（0,8）；当忠=的时，由3（-3,4）,0（0,0）,得到直线月。解析式为尸-义,中点坐标为（- 1.5,2）,垂直平分线方程为y2得（aH-1）,令_=0,得到尸争，即因（0,零）,综上，当点上（0,8）或（0,5）或（0,-5）或（0,冬）时，月比是等腰三角形. 2、在平而直角坐标系才分
3、中，一次函数，=田8的图象经过点月（-2,0）,与反比例函数丫=区（心0）的图象交于5（a,4. (1)求一次函数和反比例函数的表达式：(2)设必是直线四上一点，过M作必_轴，交反比例函数y=k（_0）的图象于点A；若儿0,M_求点M的坐标.【解答】解：(1):一次函数的图象经过点月（-2,0）,，0=-2 6,得6=2,一次函数的解析式为产=肝2,:一次函数的解析式为产与反比例函数，=区（Q0）的图象交于6（a,4）,，4=a 2,得a=2,_，4=得k=8,即反比例函数解析式为：尸区（Q0）；2_ (2)二点月（-2,0）,：.OA=2,设点必（m-2,加，点内（呈，血,m当心月。且.力三
4、月0时，四边形月以V是平行四边形，-（m-2）=2，m解得2拆或。=26 2,，点M的坐标为（2V2-2,2V2）或（26，2 2. 3、一次函数尸当的图象与y轴交于点6（0,2）,与反比例函数尸区（_0）的图象交于点，（出加.以3_加为对角线作矩形的?，使顶点儿C落在_轴上（点月在点。的右边），BD与AC交于点、区 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求点4的坐标.的图象与y轴交于点6（0,2）,，6=2,，一次函数的解析式为丫=言黑:2丁5（0，2）,，如=2,作DELO5于E:四边形月反刀是矩形，：.BE=XXX,：.OB=OF=2,：.n=-2,-2）在尸鼠 2上tn-3,-
5、3,点。在片=上上，4=6,，反比例函数的解析式为=旦. (2)由 (1)可知：OE=M=亳,在Rt反应中，班=422十逆）2rRR在矩形月以力中，AE=BE=y：.OA=AE-EO=-=,：.A(b.222 4、如图，一次函数产=二什6的图象与反比例函数%=上（尤0）的图象交于点尸（出4）,与_轴交于点月_（-3,0）,与y釉交于点G如_1才轴于点6,且 (1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)反比例函数图象上是否存在点，使四边形5。叨为菱形？如果存在，求出点的坐标：如果不存在，说明理由.【解答】解：(1)9：AC=XXX.月（-3,0）,，。为四的中点，即。1=05=3,，尸（3,4
6、）,5（3,0）,将尸（3,4）代入反比例解析式得：A=12,即反比例解析式为将月（-3,0）与尸（3,4）代入y=工叶6得：（-3a b=0,解得：方，.一次函数解析式为，.叶2：=4b=2 (2)如图所示,VC（0,2）,如_L_轴，点，的纵坐标为2,把y=2代入y=中，得_=6,得，（6,2）,则点，（6,2. 5、如图，正比例函数y=2_的图象与反比例函数片=区的图象交于月、6两点，过点月作月。垂直_轴于点_3连结5C若月6。的面积为2.(1)求左的值：(2)_轴上是否存在一点，使板为直角三角）形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请理由.【解答】解：(1)反比例函数与正比例函数的图象
7、相交于月、6两点，.,.月、6两点关于原点对称,：.OA=OB，6%的而枳=A4_的面积=2 2=1,又是反比例函数丫=上图象上的点，且月CL_轴于点G月夕的面积=4，_2k=1,：k3，A= 2.故这个反比例函数的解析式为y=2：2_ (2)_轴上存在一点。，使月初为直角三角形.将y=2_与y=2联立成方程组得：_V=2_f_=1_2=-42，解得：月（b2）,5（-b-2）,了=vb=21%=-2当时，如图b设直线的关系式为尸-畀8,将3（1,2）代入上式得：仁!一直线段的关系式为产乙乙乙52，令y=0得：_=5,：.D（5,0）：当班_5时，如图2,设直线班的关系式为尸-畀6,将6（-1
8、,-2）代入上式得：6=-，乙乙，宜线6的关系式为y=-得_-,令尸=0得：_=n-5/?（-50）：乙乙当助J_物时，如图3,为线段四的中点，AOD=AB=OA,9：A（h2）,：.OC=1,AC=2,2由勾股定理得：oa=T0c2十ac2=Vs_a?=，。W 5.根据对称性，当为直角顶点，且。在_轴负半轴时，。（-石，.存在一点，使月即为直角三角形，点。的坐标为（5,0）或（-5,0）或（旗，0）或（-泥，0） 6、如图，已知反比例函数y=Z的图象与正比例函数y=_的图象交于点4（m,-2._ (1)求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点6的坐标：(2)试根据图象写出不等式2，几的解集
9、：_ (3)在反比例函数图象上是否存在点。，使为等边三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.：.A（-1,-2）代入y=A_,-2=A_（-1）,解得，k=2,：.y=2_,又由2_=2,得才=1或才=-1（舍去），2）,_ (2),:k=2,为222M根据图象可得：当_W-1和0_1时，反比例函数y=2的图象恒在正比例函数y=2_图象的上方,_即222乂_ (3)当点。在第一象限时，宏。不可能为等边三角形，如图，当。在第三象限时，要使为等边三角形，则）=%,设。（t,2）（to）,J9：A（-b-2）A0A=f5，a士=5,贝j-4=0,tr=,t=-1,此时。与月重合，舍去，
10、f=4,=-2,-2,-1）,而此时月46，ACAO.，不存在符合条件的点C 7、反比例函数y=上在第一象限的图象如图所示，过点月（1,0）作_轴的垂线，交反比例函数尸身的图象于点M40面积为3.(1)求反比例函数的解析式； (2)设点6的坐标为(30),其中tl.若以45为一边的正方形皿有一个顶点在反比例函数7=区_【解答】解：(1)月的的面积为3,4|=3,而Q0,，4=6,反比例函数解析式为y=22_ (2)当以月5为一边的正方形月547的顶点。在反比例函数旷=反的图象上，点与“点重合，即AB=AM._把_=l代入y=互得y=6,点坐标为（1,6）,. XXX 6=7：_当以四为一边的正
11、方形际刀的顶点。在反比例函且的图象上，则月1,_二。点坐标为（t,t-1）,（t-1）=6,整理为f-6=0,解得t_=3,t2=-2（舍去），=3,以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数旷=区的图象上时，t的值为7或 3._ 8、如图，反比例函数的图象经过点A（-2相，1）,射线相与反比例函数的图象的另一个交点为6（-ba）,射线月。与_轴交于点七与y轴交于点aN加e=75,血江y轴，垂足为。. (1)求反比例函数的解析式； (2)求。的长； (3)在_轴上是否存在点尸，使得川吃与月Q?相似，若存在，请求出满足条件点尸的坐标，若不存在，请说明理由解：反比例函数尸与的图象经过点A（- 2、”，
12、1）,.4=- 2.6反比例函数的解析式为：行2; (2)过点6作忆助于必，把5（-1,a）代入了二得a=2点，_：.B（-1,2V3），儿”=笈仁2愿-1,胡=45,JoTN胡6-75,AC=75-45=30,=4tanNZ7=2_j_=2：(3)存在，如图，：OC=CD-0D=3：.OE=OC=退,当胪L_釉时，加艺如，则：OP.=AD= 2.2：.P,（-2畲，0）,当_1_月时，4APE4DCA,:期=1,N月月月=90-30=60，P2P广AP taP2P1=1士正当则22=（，。），综上所述，满足条件点尸的坐标为（-2寸,0）,（g_,. 9、如图，在平面直角坐标系中，一次函数乂=
13、4肝6（AKO）的图象与反比例函数七寸血中0）的图象相交于第一、三象限内的月（3,5）,B（a,-3）两点，与_轴交于点。. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式：(2)直接写出当切於时，_的取值范围； (3)在y轴上找一点尸使融-尸。最大，求所-尸。的最大值及点尸的坐标.解：把月（3,5）代入7白加卢0）,可得。=3_5=15,.反比例函数的解析式为力上：d15把点5（a,-3）代入了=土，可得=-5,，6（-5,-3.4_把月（3,5）,5（-5,-3）代入必,可得，解得，-5k b=-3b=2一次函数的解析式为%=肝2； (2)当必於时，-5V_V0或_ 3.3）一次函数的解析式为外=
14、田2,令_=0,则尸2,.一次函数与y轴的交点为尸（0,2）,此时，PB-PC=BC最大,尸即为所求，令y=0,则_=-2,.0（-2,0）,ABC=V（-5 2）2 32=- 10、如图，一次函数j，=U3（A0）与反比例函数，=至（aWO）的图象在第一象限交于月，6两点，A点、_的坐标为（用，6）,5点的，坐标为（2,3）,连接），过6作6ULy轴，垂足为。. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)在射线%上是否存在一点。，使得月勿是直角三角形，求出所有可能的。点坐标.解：(1);点5（2,3）在反比例函数y=3的图象上，a=3_2=6,_，反比例函数的表达式为尸表.点月的纵坐标为
15、6点月在反比例函数尸号图象上,：.A(1,6),2k b=3k b=6=-3,，次函数的表达式为尸-；1 (2)如图，月=90时，设6。与月。交于其则3）,：,AE=OE=D,E=,:E(,3)的坐标为(:,3)；22=90时，可得直线必的解析式为：尸-%手当y=3时，丫=19,，区的坐标为（19,3）,综上所述，当月勿是直角三角形，点坐标为（士豆，3）或（19,3） 1.1如图，直线尸什2与_轴、y轴分别相交于46两点，与双曲线尸石（-y0）相交于点只PCL轴于点。，且R7=4,点月的坐标为（-4,. (1)求双曲线的解析式：(2)若点。为双曲线上点尸右侧的一点，过点。作矶_轴于点4,当以点。，34为顶点的三角形与月缈相似时，求点Q的坐标,疗解：(1)把月（-4,0）代入y=a田2,得，-4a 2=0,解得8=工，2故直线相的解析式为尸2,把片=4代入乂=畀2,得，92=4,解得_=4,.点尸（4,4.乙乙乙把尸（4,4）代入y=区，得A=16,故双曲线的解析式为y=； (2)把_=0代入尸=,得y=2,，点6的坐标为（0,2）,:.OB=2,9：A（-4,0）, 2.04=4,设。（血）,则QH=,由题意可知N月（25=90,mm16当物幽时，型q,即工支，0A0B42解得：g=2 2南，公=2-26（不合题意，舍去），16，点。
