《2021年高考数学真题和模拟题分类汇编：15 推理与证明（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学真题和模拟题分类汇编：15 推理与证明（含解析）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 2 1 年高考真题和模拟题分类汇编数 学专题1 5 推理与证明一选择题部分1.（2021贵州毕节三模文 T 9.）如图，有甲、乙、丙三个盘子和放在甲盘子中的四块大小不相同的饼，按下列规则把饼从甲盘全部移到乙盘中：每次只能移动一块饼；较大的饼不能放在较小的饼上面，则最少需要移动的次数为（）【答案】C.【解析】假设中盘中有n 块饼，从甲盘移动到乙盘至少需要所次，则 3=1,当 n 2 2 时，可先将较大的饼不动，将剩余的n-1 块饼先移动到丙盘中，至少需要移动外.1次，再将最大的饼移动到乙盘，需要移动1 次，最后将丙盘中所有的丙移动到乙盘中，至少需要移动外次，由上可知，an2 an i+l
2、,且。i=l,所以。2=2。1+1=3,03=202+1=7,04=203+1=15,则最少需要移动的次数为15次.2.（2021贵州毕节三模文T 5.）“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年 是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2015年
3、 是“干支纪年法”中 的（）A.甲辰年 B.乙巳年 C.丙午年 D.乙未年【答案】D.【解析】由题意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”，2021年 是“干支纪年法”中的辛丑年,则 2 0 2 0 年为庚子，2 0 1 9 年为己亥，2 0 1 8 年为戊戌，2 0 1 7 年为丁酉，2 0 1 6 年为丙申，2 0 1 5年为乙未.3.(2 0 2 1 江西九江二模理T 9.)古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行
4、研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数，若 三 角 形 数 组 成 数 列 四 边 形 数 组 成 数 列 b,记 c n=b n+l n+i ,则数列.的 前 1 0 项 和 为()【答案】D.【解析】由题意可得，a/l+2+3+n皿罗-，bn=l+3+5+-+(2n-l)=n2，1 _ 1_ 2(1 1.所以“b.1 -a,1(d s 2(n+1)(n+2)n(n+l)n n+1,皿 皿(n+1)-设数列/的前项和为S”所以 S =2(1444+2 7)n 2 2 3 n n+1 n+1所以s 4 普4.(2
5、 0 2 1 山东潍坊二模T 6.)关于函数f(x)=ox-a vT 9,其 中a,b E R,给出下b-x,x 3 2列四个结论：甲：6 是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0;T：方程f(x)有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是()A.甲 B.乙 C.丙 D.【答案】8.【解析】当x e 0,2 时，/(x)=2*-a 为增函数,当 x w 2,+8)时，/(x)=b -x 为减函数,故 6 和 4只有一个是函数的零点,即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙、丁均正确.由两零点之积为0，则必有一个零点为0,则/(0)=2 -a=0,得
6、a=l,若甲正确，则/(6)=0,即 b -6=0,b6,可得/(x)=炉-匕 子x 2,由/3,6-x,x3 2 2可得4f0 x2a 56 H万7 7 R解 得 x=l 0 g/或x=g 方程/(x)=得 有两个根，故丁正确.故甲正确，乙错误.二、填空题部分5.(2 0 2 1 山西调研二模文T 1 4)某校团委为高三学生筹备十八岁成人礼策划了三种活动方案，分别记作4 8、C,为使活动开展得更加生动有意义，现随机调查甲、乙、丙三位同学对三种活动方案的喜欢程度.甲说：我不喜欢方案4 但喜欢的活动方案比乙多.乙说：我不喜欢方案 丙 说：我们三人都喜欢同一种方案”.由 此 可 以 判 断 乙 喜
7、 欢 的 活 动 方 案 是.【答案】C.【解析】从丙的说法中推测乙肯定有喜欢的方案，从甲的说法中推测甲喜欢2种方案，不喜欢方案A,那么可以确定是8和 C,再从乙的说法中可知，乙只喜欢一种方案，是方案C,故答案为：C.根据三个人所说内容，可以推断出乙只喜欢一种方案，又丙说：我们三人都喜欢同一种方案,所以可以判断乙喜欢的活动方案.本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的逻辑推理能力，是基础题.6.(2 0 2 1 山东聊城三模打1 3.)数 列 1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,.称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1 2 0 2 年在他写的 算盘全书提出的，该数列的特
8、点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2 0 2 1 项中，奇 数 的 个 数 为.【答案】1 348.【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每 3 个数中前两个为奇数后一个偶数，等的整数部分为6 73,余数为2,二该数列的前2 0 2 1 项中共有6 73个偶数,奇数的个数为2 0 2 1 -6 73=1 348 .故答案为:1 348【分析】由斐波那契数列的特点经过推理即可求得.三 解答题部分7.(2 0 2 1高考全国甲卷理T 1 8)已知数列 4 的各项均为正数，记S “为 4 的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成
9、立.数列 a是等差数列：数列、底 是等差数列；%=34.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】选作条件证明时，可设出 E，结合外,S “的关系求出。“，利用%是等差数列可证的=3%；选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出 疯，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设 出 底 =a n+b,结合an,Sn的关系求出凡，根据外=可求b，然后可证 4 是等差数列.选作条件证明：设=。+优。0),则S“=(an+b 当=1 时，0=$=+；当 2 2 时，an=S“一ST+-an-a+b)=a(2 an a+2 b)；因为 4 也是等差数列，所以(a +Z?=a(2 a a
10、+给)，解得8 =0；所以4 =(2 -1),所以生=3。1.选作条件证明：因为g=3卬，%是等差数列，所以公差d =%一=2 q,所以=nat+d=TTax,即 yan 因为(腹 +1)-y/隈=,所以 冏 是等差数列.选作条件证明：设#=。+伏。()，则S“=(an+b，当胃=1 时，4=&=(a +Z?)2；当时、an=S -S _ =(Q+b一(鹿一=a(2 ana+2 b；因 为%=3 q,所以a（3a +2）=3（a+）,解得力=0或 二=-才；当匕=0时，q =。2,q=0 2（2-1）,当22时，。“-4 一|=2/满足等差数列的定义，此时 4 为等差数列；当 i =-”时，J
11、s=a n+b=a n a,=不合题意，舍去.3、3、3综上可知 4 为等差数列.8.（2 0 2 1 江苏盐城三模T 1 8）请在；这3 个条件中选择1 个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题（选择多个条件并分别证明的按前1 个评分）.命题：已知数列%满足为+i=&2,若，则当”2时，斯2 恒成立.【考点】数列的通项公式求解与不等式的证明【解析】选.证明：由斯+l=a/,且，所以斯0,n 1所以怆斯+1=3 斯,l g an=2n-1l g 2,an=T ,.5 分当”22时;只需证明2 T ，.n ,H+1 n 1-n 八令 儿=#7，则为+1 一 小=一#7=-.1 分所以
12、为W岳=1,所以2 f 成立.综上所述,当0=2且2时,小 2 2 成 立.1 2 分注：选为假命题，不得分，选参照给分.9 （2 0 2 1 河南开封三模理T 1 7）已知数列”满 足 处=-2,an+l=2 a+4.（1 ）求2，。3，。4；（2）猜想 如 的通项公式并加以证明；（3）求数列|m|的前项和S .【解析】（1）由已知，易得42 =0,43=4,0 1=1 2.（2）猜想.a+i+4因为斯+1=2 m+4,所以m+计4=2 （+4）,.-=2 a4则 斯+4 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以 an+4=2，所以=an=2n-4.（3）当 k=1 时，i=-2V 0,S
13、=|i|=2；当时，小20,所 以 Sn=-a i+a2+-+an=2+(22-4)+*-+(2n-4)=2+22+-+2n-4(n-l)=2 t 笊)-4(n-D=2 血-4n+2，LN又”=1时满足上式.所以，当 eN*时，Sn=2ttF1-4n+2.10.(2021浙江杭州二模理 T 2 0.)已知数列&,(仇,满足 为=2一2,b2k-=ak(Z：e N*),bik-1 b?k，岳&+i成等差数列.(1)证明：历仆是等比数列；n+2(2)数列 Cn满足C n=8 n(n+1)个2一丁 记数列 的前“项和为S”求S,.【解答】证明：(1)由数列 斯,仇,满 足%=2 b2k-=ak(A
14、e N*),所以 b 2 b 1 =2i由于岳*，b2k,M w成等差数列.故b2k=32卜3,b 9 1 r整理得 丁 之 二2(常 数)，b2k-2所以数列：(历R是以g为首项，公比为2的等比数列；(2)由于：治 人 是以g为首项，公比为2的等比数列；4所以 b2n=320-3,则 b2n-b2nH=3 2n r 3-2n-2=2n-3,_ n+2_ _ n+2 _ 2(n+l)-n _ _ 1 8n(n+l)(b2n-b2n-nC n+l)11 n(n+l)2n-n-2n-1(n+l)-2n(心 1),二 1 11 1 1_1n 2 2-21+221 3-22+n-2n-1(n+l)-2
15、n，=1-(n+l)-2n-11.(2021浙江丽水湖州衢州二模T20.)已知数列.“是各项均为正数的等比数列，若0=2,42+43是。3与44的等差中项.数列 d 的前项和为S”且&+2等1 =2小-2.求证：(I)数列%-为 是等差数列;1 111b(II)-+7-W2(1-1).bl2L an【解答】证明:(I)数列 小 是各项均为正数的等比数列，若0 =2,“2+的是”3与田的等差中项,由已知03+(74=2(。2+。3),整理得。4。32 2=0.设数列 m 的公比为4,贝IJ炉-4-2=0,解得4=2或-1(负值舍去)故an=2、由S+n l),=2a-2.当n=1时,解得加=1,当“22 时，Sn-l+n J)=22 2,-得：bn+n=2=2n，解得 bn=2L n.所以 a”-hn=n,故(%-b)-(-I -b n-=1(常 数)，故数列 斯-5 是等差数列.(II)由于an=2，数列“,-瓦 是 以1为首项，1为公差的等差数列,贝!J：an-hn=+(w-1)=，所以为二？1 1-。,所以一寺成立.+2n-1 2nn+2 n+3、n+3)-2-2n
