《2020-2021学年北京科技大学附中高二（上）期中数学试卷（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年北京科技大学附中高二（上）期中数学试卷（解析版）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020-2021学年北京科技大学附中高二（上）期中数学试卷一、选 择 题（共8小题，每小题3分，满分24分）.1.在复平面内，复数z对应的点是Z（l,-2）,则复数z的 共 轨 复 数（）A.1+2;B.1 -2/C.2+i D.2-i2.设m住R,，是虚数单位，则“a b=0”是“复数a3为纯虚数”的（）1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3 .如图：在平行六面体48co中，为4G与84的 交 点.若 标=A D=bA A =C，则下列向量中与B M相等的向量是（）4.已知直线/的方程为x+?y-2=0,则直线/（/a至b+c D.y a -b
2、+c）A.恒 过 点（-2,0）且不垂直x轴B.恒 过 点（-2,0）且不垂直），轴C.恒 过 点（2,0）且不垂直x轴D.恒 过 点（2,0）且不垂直y轴5.在正方体A 8 C O-4助G 9中，E为棱CG的中点，则异面直线A E与C O所成角的正切值 为（）A.返 B.返 C.豆 D.近2 2 2 26.下列说法中，正确的是（）A.过点P （1,2）且在x,y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0B.直线y=3 x-2在），轴上的截距为-2C.直线-/示+1=0的倾斜角为60D.过 点（5,4）并且倾斜角为90的直线方程为y-4=07.已知而=（2,1,-3）,p g=（-1,2,3）,
3、p Q=（7,6,入），若 P,A,B,C 四点共面，则入=()A.9 B.-9 C.-3 D.38.点 M,N 分别是棱长为2 的正方体A8CO-A山iG。中棱8,C G 的中点，动点P 在正方形BCGBi(包括边界)内运动.若P 4 面 A M N,则 P 4 的长度范围是()A.2,A/5 1 B.-/5 C 3 D.3二、填 空 题(共6小题，每小题3分，满 分18分)9.若复数则团=_ _ _.1+110.在空间直角坐标系中，已知点4(1,2,0),B(x,3,-1),C(4,y,2),若 A,B,C 三点共线，则x+y=.11.过点尸(2,3)且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距
4、 相 等 的 直 线 方 程 为.12.已知直线/：2x+3y+5=0.(1)过点A(1,-4)且与直线I平行的直线方程；(2)过点A(1,-4)且与直线/垂直的直线方程是.13.在长方体 A8CQ-4BCrD 中，A A A B=2,A C=1,点 F,G 分别是 AB,CCi 的中点,则点。到直线GF的距离为.14.如 图，在四棱锥P-ABCO中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行.在平面P A B内不存在直线与D C平行；在平面P A B内存在无数多条直线与平面PCC平行；平面P A B与平面P D C的交线与底面A B C D不平行；上 述 命 题 中 正 确 命 题 的 序 号 为
5、.三、解 答 题(共 4 小题，满分0 分)16.如 图，在四棱锥P-A B C。中，PD=2 A D=4,PDLDA,P D L D C,底面A B C。为正方形，M,N分别为4，P D的中点.(1)求证：P A平面M N C；(2)求直线P B与平面M N C所成角的正弦值；(3)求点B到平面M N C的距离.17.如图一所示，四边形A B C C是边长为我的正方形，沿8。将C点翻折到C i点位置(如图二所示)，使得二面角A-BO-G成直二面角.E,F分别为B G,AG的中点.(I )求证：B DA-A Ci；(II)求平面O E F与平面A B。所成的锐二面角的余弦值.a18.如图，在四
6、棱锥 P-A B C。中，P A，平面 A B C ,P A=A O=C D=2,B C=3,P C=2近，E为中点，.(1)求证：四边形A B C。是直角梯形；(2)求直线A E与平面尸C D所成角的正弦值；(3)在棱P 8上是否存在一点F,使得A F平面P C D?若存在，求瞿的值；若不存在,请说明理由.从C D L B C；B C 平 面 这 两 个 条 件 中 选 一 个，补充在上面问题的横线中，并完成解答.B参考答案一、选 择 题(共8小题，每小题3分，满分24分)1.在复平面内，复数z对应的点是Z(l,-2),则复数z的 共 匏 复 数()A.1+2/B.1 -2 i C.2+i
7、D.2-i【分析】由复数z对应的点是Z(1,-2),得z=l-2i,则复数z的共聊复数可求.解：由复数z对应的点是Z Q,-2),得 z=1 -2 i.则复数z的共规复数W=l+2i.故选：A.2.设尤R,，是虚数单位，则“=0”是“复数a心为纯虚数”的()1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】利 用 ab=0”与 复 数a心为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条1件.解：因 为“川=0”得4=0或h=o,只有4=0,并且人工0,复 数 为 纯 虚 数，否则1不成立；复数为纯虚数，所以=。并且6 W 0,所以必=0，1因此4,g R,i
8、是虚数单位，则“必=0”是“复数a 为 纯 虚 数”的必要不充分条件.1故选：B.3.如图：在平行六面体A 8 C -中，M为4G与BQ的 交 点.若 亚=5A D =b A A =c,则下列向量中与面J相等的向量是()AB1 1 T A.彳a b +c B.-a -b+c C -a b+c D -a-b+c【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出访.解：；而=函+彳=“而（B A +B C）1L21L2tcfC(-a +b)_ 1 f 1 7-=TaV+c故选：A.4.已知直线/的方程为x+，w y-2=0,则直线/（）A.恒 过 点（-2,0）且不垂直x轴B.恒 过 点
9、（-2,0）且不垂直），轴C.恒 过 点（2,0）且不垂直x轴D.恒 过 点（2,0）且不垂直y轴【分析】分别令*=0,或y=0,即可判断.解：x+m y-2=Q,令 y=0,可得 x=2,直线恒过定点（2,0）,9令 x=0,则,=0,m二直线/不垂直y轴，故选：D.5.在正方体ABC。-A山iG G中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与C。所成角的正切值 为（）A.返 B.返 C.豆 D.且2 2 2 2【分析】由48C D,得NBAE是异面直线AE与CO所成角，由此能求出异面直线AE与CO所成角的正切值.解：ABC,./BAE是异面直线AE与C所成角，连接B E,设正方体ABC。-4 8
10、 1 G d棱长为2,则 A B=2,BE=+1 2=娓,平面 BCE,B E u平面 BCE,.ABLBE,：.tanZBAE=-.AB 2故选：c.6.下列说法中，正确的是（）A.过点P（1,2）且 在 羽）；轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0B.直线y=3x -2在y轴上的截距为-2C.直线X-向y+l=0的倾斜角为60 D.过 点（5,4）并且倾斜角为90。的直线方程为y-4=0【分析】对于A,当在x轴上的截距为0时，在y轴上的截距也为0,求出直线方程为2x-y=0,当在x轴上的截距为a （a#0）时，在y轴上的截距也为a,直线方程为三二=a a1,求出直线方程为x+y-3=0；
11、对于B,直线y=3x-2在 轴上的截距为-2；对于C,直线x-/务+1=0的倾斜角为30 ；对 于。，过 点（5,4）并且倾斜角为90 的直线方程为x -5=0.解：对于A,当在x轴上的截距为。时，在），轴上的截距也为0,直 线 过（1,2）,（0,0）,直线方程为：工=苫，即2x-y=0,当在X轴上的截距为（W 0）时，在y轴上的截距也为a,直线方程为三7=1,把（1,2）代入，得：工/=1，解得a=3,a a a a玲=1,整理得直线方程为x+y-3=0.过点P（1,2）且在x,y轴上的截距相等的直线方程为2x -y=0或x+y -3=0,故A错误；对于B,直线y=3x-2在），轴上的截距
12、为-2,故B正确；对于C,直线-内4 1=0的倾斜角为30 ,故C错误；对于。，过 点（5,4）并且倾斜角为90 的直线方程为x-5=0,故。错误.故 选:B.7.已知苏=（2,1,-3）,p B=（-1,2,3）,玩=（7,6,入），若 P,A,B,C 四点共面，则入=（）A.9 B.-9 C.-3 D.3【分析】由共面向量定理得同二x欣+y丽，从 而。，6,入）=x （2,1,-3）+y （-1,2,3）,由此能求出入的值.解：,*PA=1,-3）,p g=（-1,2,3）,p Q=（7,6,人），P,A,B,C四点共面，,PC=x PA+y PB,（7,6,A）=x （2,1,-3）+y
13、 （-1,2,3）,解得人=-9.故选：B.8.点M,N分别是棱长为2的正方体A B C。-中棱B O,C G的中点，动点P在正方形B CG B i（包括边界）内运动.若PA i 面A M N,则P 4的长度范围是（）A.2,B.3 ,C.3 D.2,3【分析】取8 G的中点E，的中点/，连结4 E,4凡E F,取E尸中点O,连结A。,推 导 出 平 面 平 面4 E凡 从而点P的轨迹是线段E凡 由此能求出尸4的长度范围.【解答】解取囱G的中点E,8 S的中点尸，连结A i E,A iF,E F,取E F中点0,连结A O,点M,N分别是楼长为2的正方体A 8CO-A fCIOI中棱B C,C
14、 G的中点，：.A M/A iE,MN/EF,A tEQEF=E,二平面A M N 平面A EF,；动点尸在正方形8 C G囱（包括边界）内运动，且P 4面4 M M点P的轨迹是线段：A E=A F=22+12=V5,F=V 12+12=/2,：.A OYEF,.当P与。重合时，PA i的长度取最小值40=J （泥）2 _ 哼）2当P与E (或 尸)重合时，P 4的长度取最大值为4E=AF=J0.“4的长度范围为由叵，V5 J.故选：B.二、填 空 题(共6小题，每小题3分，满 分18分)9.若复数z4=，则 囱=1 .1+1【分析】先对所给的复数分子、分母同乘以1-i,进行化简后再求出它的模
15、.解:l-i _Z TH-(l-i)(1-i)A|z|=l,故答案为：1.10.在空间直角坐标系中，已知点A (1,2,0),B (x,3,-1),C (4,y,2),若A,B,C三点共线，贝！x+y=2.-_.【分析】(X-1，1，-1)，菽=(3,y-2,2),可 得A,B,C三点共线，可得存在实数左使得：A B=A C-解：A B=(%-1，1，-1)，A C=(3,y-2,2),B,C三点共线，.,.存在实数上 使得：靛=k菽，x-l=3k l=k(y-2)解得%=-，x=-i,y=0.-l=2k +产-f故答案为：-11.过点尸(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y -
16、5=0,或3x -2y=0.【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可.解：若直线的截距不为0,可设为三2=1，把P(2,3)代入，得，2 n =1，。=5,a a a a直线方程为x+y-5=0若直线的截距为0,可 设 为 尸 把P(2,3)代入，得3=22,仁 多 直线方程为3x-2y=0.所求直线方程为x+y -5=0,或3x-2y=0故答案为x+y-5=0,或3x-2y=012.已知直线/：2x+3y+5=0.(1)过点A(1,-4)且与直线/平行的直线方程 2x+3y+10=0；(2)过点A (1,-4)且与直线/垂直的直线方程是 3x-2y-l l=0.【分析】(1)由题意，利用两条直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程.(2)由题意，利用两条直线垂直的性质，用待定系数法求出直线的方程解：(1)设过点A (I.-4)且与直线/：2x+3y+5=0平行的直线方程为2x+3)H%=0,把点的坐标代入，求得加=1 0,故要求的直线的方程为2x+3y+10=0,故答案为：2x+3y+10=0.(2)设过点A (1,-4)且与直线/：2x+3y+5=0垂
