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1、数学建模与数学建模与数学数学实验实验：储油油罐储油油罐标尺的刻度设计标尺的刻度设计问题问题研究研究 研究研究目标目标 本实验设计微积分和线性代数的若干基本知识。通过实验复习函数的反函数，定积分的应用和计算,解微分方程和解代数方程组等内容;并且介绍了连续型数学问题近似化处理的若干基本技巧,例如插值法,二分法和两点边值问题的差分法等。解决问题解决问题 1.标尺的刻度设计 2.油量 V 关于储油高度的函数关系 问题问题 1 1：标尺的刻度设计：标尺的刻度设计 以实验十三中的的数值实例的数据 R=1,A=1,L=5(单位:m),分别用插值法和二分法求对应于01,0,(1,2,.,17)iVVVi V
2、i 和31817.8024(:)Vm单位的刻度位置*iH的值,并按 1:20 的比例制作一个具体的标尺模型。问题分析问题分析 当R=1,A=1,L=5的时候,我们应该首先求出油量函数表达式,给出油量函数表,再根据此表给出油量和高度所在的区间,再分别求出一次和二次插值相应的高度*H。问题求解问题求解 当 R=1,A=1,L=5 时的油量函数表达式为:222222322arccos(1)(1)1(1)arcsin32()2()2()ln 02()(2)R2 HHHRHHLRR ARRRRARRHHV HA RHRHHRHHRRRHV RVRHHR 具体情况如图所示:为了求出体积 V,我们需要将整个
3、油罐分为两部分:()BVH和()cV H(其中()BVH和()cV H分别表示的是相应的圆柱和圆锥部分的体积),则有:()()2()CBV HVHV H 按照书上的方法给出油量函数表,如下:i iH cV BV V 0 0.0 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.1 0.2936 0.0023 0.2982 2 0.2 0.8175 0.0128 0.8431 3 0.3 1.4775 0.0343 1.5461 4 0.4 2.2365 0.0682 2.3729 5 0.5 3.0709 0.1153 3.3015 6 0.6 3.9634 0.1754 4.3142 7 0
4、.7 4.8996 0.2481 5.3958 8 0.8 5.8674 0.332 6.5314 9 0.9 6.8557 0.4249 7.7055 10 1.0 7.8540 0.5236 8.9012 11 1.1 8.8523 0.6223 10.0969 12 1.2 9.8406 0.7152 11.271 13 1.3 10.8084 0.7991 12.4066 14 1.4 11.7446 0.8718 13.4882 15 1.5 12.6371 0.9319 14.5009 16 1.6 13.4715 0.9790 15.4295 17 1.7 14.2305 1.0
5、129 16.2563 18 1.8 14.8905 1.0344 16.9593 19 1.9 15.4144 1.0449 17.5024 20 2.0 15.7080 1.0472 17.8024 进行一次插值的程序如下:function yicichazhi for i=1:17 v(i)=i;end a=0.8431,1.5461,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,8.9012,8.9012,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,14.5009,15.4295,16.9593;b=1.5461,2.3729,3
6、.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,8.9012,10.0969,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,14.5009,15.4295,16.2563,17.5042;c=0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.8;d=0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.9;for i=1:17 H(i)=(v(i)-b(i)*c(i)/(a(i)-b(i)-(v(i)
7、-a(i)*d(i)/(a(i)-b(i);end 运行结果运行结果 i iV iV对应的区间 iH对应的区间 一次插值iH 0 0 0,0 0,0 0 1 1 0.8431,1.5461 0.2,0.3 0.2223 2 2 1.5461,2.3729 0.3,0.4 0.3549 3 3 2.3729,3.3015 0.4,0.5 0.4675 4 4 3.3015,4.3142 0.5,0.6 0.5690 5 5 4.3142,5.3958 0.6,0.7 0.6634 6 6 5.3958,6.5314 0.7,0.8 0.7532 7 7 6.5314,7.7055 0.8,0.9
8、 0.8399 8 8 7.7055,8.9012 0.9,1.0 0.9246 9 9 8.9012,10.0969 1.0,1.1 1.0083 10 10 8.9012,10.0969 1.0,1.1 1.0919 11 11 10.0969,11.271 1.1,1.2 1.1769 12 12 11.271,12.4066 1.2,1.3 1.2642 13 13 12.4066,13.4882 1.3,1.4 1.3549 14 14 13.4882,14.5009 1.4,1.5 1.4505 15 15 14.5009,15.4295 1.5,1.6 1.5537 16 16
9、15.4295,16.9593 1.6,1.7 1.6690 17 17 16.9593,17.8024 1.8,1.9 1.8075 18 17.8024 17.8024,17.8024 2.0,2.0 2.0 进行二次插值的程序如下:function ercichazhi for i=1:17 v(i)=i;end a=0.2936,0.8431,1.5461,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,7.7055,8.9012,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,14.5009,16.9593;b=0.8431,1.54
10、61,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,8.9012,8.9012,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,14.5009,15.4295,17.5042;c=1.5461,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,8.9012,10.0969,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,14.5009,15.4295,16.2563,17.8024;d=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.9,1.0,1.1,1.2,1.3
11、,1.4,1.5,1.8;e=0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.9;f=0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,2.0;for i=1:17 H(i)=(v(i)-b(i)*(v(i)-c(i)*d(i)/(a(i)-b(i)*(a(i)-c(i)+(v(i)-a(i)*(v(i)-c(i)*e(i)/(a(i)-b(i)*(c(i)-b(i)+(v(i)-b(i)*(v(i)-a(i)*f(i)/(c(i)-
12、a(i)*(c(i)-b(i);end 运行结果运行结果 i iV iV对应的区间 iH对应的区间 二次插值iH 0 0 0，0，0 0,0 0 1 1 0.2936，0.8431,1.5461 0.1，0.2,0.3 0.2250 2 2 0.8431,1.5461,2.3729 0.2，0.3,0.4 0.3573 3 3 1.5461,2.3729,3.3015 0.3，0.4,0.5 0.4690 4 4 2.3729,3.3015,4.3142 0.4，0.5,0.6 0.5700 5 5 3.3015,4.3142,5.3958 0.5，0.6,0.7 0.6642 6 6 4.3
13、142,5.3958,6.5314 0.6，0.7,0.8 0.7538 7 7 5.3958,6.5314,7.7055 0.7，0.8,0.9 0.8403 8 8 6.5314,7.7055,8.9012 0.8，0.9,1.0 0.9248 9 9 7.7055,8.9012,10.0969 0.9，1.0,1.1 1.0083 10 10 8.9012,10.0969,11.271 1.0,1.1，1.2 1.0919 11 11 10.0969,11.271,12.4066 1.1,1.2，1.3 1.1768 12 12 10.0969,11.271,12.4066 1.1，1.
14、2,1.3 1.2638 13 13 11.271,12.4066,13.4882 1.2，1.3,1.4 1.3543 14 14 12.4066,13.4882,14.5009 1.3，1.4,1.5 1.4498 15 15 13.4882,14.5009,15.4295 1.4，1.5,1.6 1.5528 16 16 14.5009,15.4295,16.9593 1.5，1.6,1.7 1.6679 17 17 16.9593,17.5042，17.8024 1.8,1.9，2.0 1.8038 18 17.8024 17.8024,17.8024，17.8024 2.0,2.0，
15、2.0 2.0 问题问题 2 2：油量：油量 V V 关于储油高度的函数关系关于储油高度的函数关系 在实际情形中,油罐还可能由一圆柱侧面两端拼接相同球冠组成,设圆柱长度为 L=5,半径为 R=1,而球冠高度为:(1)A=1;(2)A=0.6,(单位:3m)试对这种情况研究油量 V 关于储油高度的函数关系;做同问题一中的数值处理。问题分析问题分析 这个问题和问题一是一样的,首先需要给出体积的表达式,再进行插值求解。模型模型建立建立 首先画出油库的图形,如下:为了求出体积 V,我们需要将整个油罐分为两部分:()BVH和()cV H(其中()BVH和()cV H分别表示的是相应的圆球部分和圆柱体积)
16、,则有:()()2()CBV HVHV H 当0HR,22()cos(1)(1)1(1)cHHHV HLSLR ArcRRR 下面的问题是求()BVH:设半球的方程为:2222221(0)xyzzRRA 则有:2222(1)xyzAR 为了求出体积,需要给出,x y的积分区域,x的是从()RHR,而xy和的关系为:222xyR 从而220yRx,用数学软件进行积分后得到体积的表达式为:22322222220()(2)(32)12()43/3(2)(1)BRRxR HVHH HRHH RRR HRRAH RH HRxydxA dyR 下面可以给出油量函数表达式为:223222arccos(1)(1)1(1)(2)(32)12()()023/3(2)2()(2)R2 HHHLRRRRH HRHH RRR HRRV HAHRH RH HRV RVRHHR 下面按照问题一进行求解:情况一:当 R=1,A=1,L=5 时 首先给出油量函数表，如下:i iH cV BV V 0 0.0 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.1 0.2936 0.0076 0.3088 2 0.2 0.
