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1、专题4.5 恒成立问题和存在性问题【题型目录】题型一最值法题型二分离参数法题型三分类讨论法题型四指对数同构题型五双变量问题【典型例题】题型一最值法例1（2023春四川成都高三树德中学校考阶段练习）若对于任意的及任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD例2（2023春四川成都高三树德中学校考阶段练习）设函数.(1)若直线是函数图像的一条切线，求实数的值；(2)若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.练习1（2023全国高三专题练习）函数，若存在使得，则实数的取值范围是_练习2（2023春四川内江高二四川省内江市第六中学校考期中）已知函数，若存在实数x使不等式成立，则实数的取值范围为
2、（）ABCD练习3（2023江苏南通高三校联考阶段练习）已知函数.(1)若，关于x的不等式恰有两个整数解，求m的取值范围；(2)若的最小值为1，求a.练习4（2023春浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有在定义域内恒成立，则a的取值范围为（）ABCD练习5（2023春四川德阳高二德阳五中校考阶段练习）若不等式在有解，则实数a的取值范围是（）ABCD题型二分离参数法例3（2023全国高三专题练习）已知函数，若对于，均有，则实数b的取值范围为_例4（2023春甘肃张掖高三高台县第一中学校考期中）已知，.(1)讨论函数在上的单调性；(2)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围
3、.练习6（2023山东青岛统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在，使成立，求a的取值范围.练习7（2023春宁夏银川高二银川一中校考期中）已知.(1)求函数的最小值；(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切，都有成立练习8（2023秋吉林长春高三长春市第五中学校考期末）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（）A1BCD练习9（2022春重庆沙坪坝高二重庆一中校考期末）若不等式对恒成立，则整数的最大值为（）A1B2C3D4练习10（2023江西校联考模拟预测）已知函数(1)求的单调区间；(2)若对于任意的，恒成立，求实
4、数的最小值题型三分类讨论法例5（2023春江西景德镇高三景德镇一中校考期中）已知函数，.(1)若恒成立，求实数的取值范围.(2)证明：当时，.6（广东省部分地市2023届高三下学期模拟（三）数学试题）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.练习11（2023全国高三专题练习）已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围_.练习12（2023春江苏南京高二南京师大附中校考期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_.练习13（2023宁夏银川校联考二模）已知函数(1)讨论在上的单调性；(2)若对于任意，若函数恒成立，求
5、实数k的取值范围练习14（2023江西江西省丰城中学校联考模拟预测）已知在上恒成立，则实数a的取值范围_练习15（2023广东广州统考模拟预测）已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_.题型四指对数同构例7（2023全国高三专题练习）已知不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（）ABCD例8（2023内蒙古赤峰校联考三模）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是_练习16（2023春湖北高二校联考期中）若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为（）ABCD练习17（2023春湖北武汉高二武汉市洪山高级中学校联考期中）若不等式对任意成立，则实数的取值范围为_练
6、习18（2023全国高三专题练习）若不等式恒成立，则的取值范围为_.练习19（2023江西上饶校联考模拟预测）已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为_.练习20（2023安徽铜陵统考三模）已知函数.(1)试求函数的极值；(2)若存在实数使得成立，求实数的取值范围.题型五双变量问题例9（2023春贵州高三校联考期中）（多选）已知，且恒成立，则k的值可以是（）A2B0C2D4例10（2023春天津静海高三静海一中校考阶段练习）已知函数（是自然对数的底数）(1)求在处的切线方程.(2)存在成立，求a的取值范围.(3)对任意的，存在，有，则的取值范围.【答案】(1)(2)(3)练习21（2022秋江苏
7、连云港高一校考期末）设函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若（其中），证明：；练习22（2023全国高三专题练习）已知函数设.(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;(2)求证:;对,使得总成立.练习23（2023春山东淄博高二山东省淄博实验中学校联考期中）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若存在，使得恒成立，求实数m的取值范围练习24（2023春辽宁朝阳高二校联考期中）已知函数.(1)当时，求的图像在点处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求的取值集合.练习25（2023全国高三专题练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A在上是增函数B，不等式恒成立，则正实数的最小值为C
8、若有两个零点，则D若，且，则的最大值为参考答案与试题解析专题4.5 恒成立问题和存在性问题【题型目录】题型一最值法题型二分离参数法题型三分类讨论法题型四指对数同构题型五双变量问题【典型例题】题型一最值法例1（2023春四川成都高三树德中学校考阶段练习）若对于任意的及任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】由题意可得对任意的恒成立，分类讨论，和，当时，令，对求导，求出的最大值，即可得出答案.【详解】因为对于任意的及任意的，不等式恒成立，则对任意的恒成立，所以，则对任意的恒成立，当时，成立；当时，时，不等式左边，所以不成立；当时，令，令，解得：；令，解得：，所以在上单
9、调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，所以，所以，综上，.故选：A.例2（2023春四川成都高三树德中学校考阶段练习）设函数.(1)若直线是函数图像的一条切线，求实数的值；(2)若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据导数的几何意义列方程求的值；（2）原不等式可化为，设，由已知，讨论，利用导数研究的单调性，由此确定的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，导函数，设切点， 则，解得，所以；（2）不等式可化为：，因为，所以，设，由已知 令，则，令，则，再令，则，所以在单调递增，又，则，即，所以在单调递增，的值域为.当时，即时，则在单调递增，又，所以恒
10、成立，符合.当时，即时，当时，所以存在，使，则当时，函数在上单调递减，而，所以对成立，不符合.综上，实数的取值范围是.练习1（2023全国高三专题练习）函数，若存在使得，则实数的取值范围是_【答案】【分析】将条件存在使得转化为在区间上，求，再根据导函数的性质即可求得在区间上的，进而解不等式即可【详解】存在使得等价于在区间上，由，则，若，则，此时单调递减，所以成立；若，当时，此时单调递增；当时，此时单调递减，如果，则，得；如果，则，得，综上，实数的取值范围为故答案为：练习2（2023春四川内江高二四川省内江市第六中学校考期中）已知函数，若存在实数x使不等式成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答
11、案】B【分析】将题给不等式转化为存在实数x使不等式成立，利用导数求得的最小值，进而求得实数的取值范围.【详解】存在实数x使不等式成立，即存在实数x使不等式成立，令，当时，当时，单调递减；当时，单调递增，则当时，取得最小值.当时，当时，单调递增；当时，单调递减，则当时，取得最小值.又，则最小值为，则，即故选：B练习3（2023江苏南通高三校联考阶段练习）已知函数.(1)若，关于x的不等式恰有两个整数解，求m的取值范围；(2)若的最小值为1，求a.【答案】(1)(2)1【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而可得，并求出，即可确定m的范围；（2）根据的值域及的最小值为1排除、，构造并应用导数研究函
12、数符号，放缩法求最值，即可得参数值.【详解】（1）当时，则，令，当时，递减，当时，递增，所以，要使恰有两个整数解，则.（2）若，当趋向时趋向于0，此时最小值不为1，舍去.由（1）知：时最小值为0，此时最小值不为1，舍去.所以，则，令，则，故时，时恒成立，所以在上递减，在上递增，且，即恒成立，所以，仅当，即时取等号，令，则，故时，递减，时，递增，所以，且时，时，综上，即时，成立.此时，要使的最小值为1，即.练习4（2023春浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有在定义域内恒成立，则a的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】利用导数研究单调性，得极小值，将问题转化为在上恒成立，
13、再应用导数研究左侧的最小值，即可求解.【详解】由题设且，令，则，所以在上递增，显然趋向0时趋向，故使，即，则，所以，在上，递减；在上，递增；故，要在上恒成立，则，即恒成立，令且，则，故时，时，所以上递减，上递增，则，且当时，,综上，可得.故选：C练习5（2023春四川德阳高二德阳五中校考阶段练习）若不等式在有解，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】先得到，不等式变形得到，换元后令，问题转化为存在，使得，求导后得到的单调性，结合，得到当时，比较端点值得到答案.【详解】由有意义可知，变形为，即，令，即有，因为，所以，令，问题转化为存在，使得，因为，令，即，解得，令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，又，而，所以当时，若存在，使得成立，只需且，解得.故选：D题型二分离参数法例3（2023全国高三专题练习）已知函数，若对于，均有，则实数b的取值范围为_【答案】
