《2023-2023学年高中数学 第一章 数列 1.1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2023学年高中数学 第一章 数列 1.1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1.2 2数列的函数特性数列的函数特性1.数列的图像由于数列是特殊的函数,所以数列可以用图像直观地表示.数列用图像表示时可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标,描点作图来表示一个数列.在作图时,为便利起见,在平面直角坐标系上取的单位长度可以不同.【做一做1】已知数列an的通项公式为an=2n-1,作出该数列的图像.解:分别取n=1,2,3,得到点(1,1),(2,3),(3,5),描点作出图像.如图,它的图像是直线上的一些等间隔的点.2.数列的增减性(1)一般地,一个数列an,如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1an,那么这个数列叫作递增数列;如果从第2项起,每一项都小于它前
2、面的一项,即an+1an,那么这个数列叫作递减数列;如果数列an的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.(2)函数an=f(n)在定义域上是增函数,其图像是上升的,an是递增数列;函数an=f(n)在定义域上是减函数,其图像是下降的,an是递减数列.【做一做2】已知数列an满意an+1-an-3=0,则数列an是()A.递增数列 B.递减数列C.常数列D.不能确定答案:A名师总结数列增减性与函数增减性的区分数列是一种特殊的函数,其定义域是N+或N+的有限子集,自变量的取值是离散的,而函数的定义域通常是连续的,所以数列与函数的增减性有所不同.例如,函数f(x)=x2-2x在其定义域上没有增减性.只
3、能说f(x)在(-,1)上削减,在(1,+)上增加,但对于数列an,若an=n2-2n,则其肯定是递增数列.思考辨析推断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)数列若用图像表示,则从图像上看是一群孤立的点.()(2)在数列an中,若存在m,nN+,当mn时有aman成立,则数列an是递增数列.()(3)数列不肯定有通项公式.()(4)数列1,3,5,7,2n-1可以看作函数y=2x-1,当x取1,2,3,n时,对应函数值的集合.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思维辨析【例1】已知数列an中,an=n2-8n.(1)画出an的图像;(2)依据图像写出
4、数列an的增减性.分析:(1)当nN+时,分别在平面直角坐标系中描出点(n,an)即可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性.解:(1)列表如下.描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列an的图像.(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),探究一探究二探究三思维辨析(2)数列an的图像既不是上升的,也不是下降的,所以an既不是递增数列,也不是递减数列.图像如图.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟画数列图像通常用描点法,与画函数图像的描点法有类似之处,其步骤是:(1)列表;(2)描点.但要注意描点后不
5、能连线,这是由于数列的定义域是N+.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1依据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.(1)an=(-1)n+2;解:(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1,图像如图.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟推断数列增减性的方法(1)依据给出的通项公式画出图像,观察图像的变化趋势;(2)作差法:用数列的后一项减去前一项,an-an-1(n2,nN+)或an+1-an,若结果为正,则是递增数列,若结果为负,则是递减数列;(3)作商法:在确定an为正或为负的情况下,作商 ,比较商值与1的关系,从
6、而确定数列的单调性;(4)借助数列通项公式对应函数的单调性进行推断.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.数列an中,若存在mN+,对任意nN+都有aman恒成立,则am为数列an中的最大项;若存在tN+,对任意nN+都有atan恒成立,则at为数列an中的最小项.2.求数列的最大(小)项,其实质就是求相应函数的最大(小)值,但要注意数列中的nN+.3.求数列最大(小)项的方法主要有两种:(1)依据数列an的增减性求最大(小)项;探究一探究二探究三思维辨析变式训练3(1)已知数列an的通项公式为an=n2-7n+50,则数列中的最小
7、值为.(1)解析:当n=3或n=4时,an取最小值为a3=a4=38.答案:38(2)解法一:an+1-an当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.故a1a2a3a11a12,该数列中有最大项,为第9项、第10项,探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析因忽视数列中变量n的范围而出错【典例】求数列3n2-20n+1的最小值.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得利用二次函数求最值是一种常用方法,但在数列这一情景下,要注意数列是定义在N+或N+的有限子集上的函数,因此解题过程中注意自变量n的取整性,本题错解就是
8、错误地把 代入求解.探究一探究二探究三思维辨析变式训练已知数列an中,(nN+),则在数列an的前50项中,最小项和最大项分别是()A.a1,a50B.a1,a8C.a8,a9D.a9,a50答案:C123451.已知an=3n-2,则数列an的图像是()A.一条直线B.一条抛物线C.一个圆D.一群孤立的点答案:D123452.在递减数列an中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是()A.RB.(0,+)C.(-,0)D.(-,0解析:an+1-an=k(n+1)-kn=k,且数列an为递减数列,k0时f(x)是减函数,当k0时f(x)是增函数,因此若an是递增数列,应有k0.答案:k0123455.依据下面两个数列的通项公式,分别作出它们的图像,并推断数列的增减性.解:
