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1、第四章第四章 三角形三角形第五节第五节 解直角三角形及其实际解直角三角形及其实际应用应用 考点考点精讲精讲解直角三解直角三角形及其角形及其实际应用实际应用锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义锐角三角函数锐角三角函数特殊角的三角函数值记忆法特殊角的三角函数值记忆法直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系解直接三角形的实际应用解直接三角形的实际应用仰角、俯角仰角、俯角坡角、坡度坡角、坡度方向方向角角精确度精确度解直角三角形实际解直角三角形实际应用题的一般步骤应用题的一般步骤锐角三角函锐角三角函数的定义数的定义 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90=90，A为为ABC 中的一锐角，则有：中的一
2、锐角，则有：B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c，A的正弦：的正弦：sin A=A的余弦：的余弦：cos A=A的正切：的正切：tan A=三角三角函数函数304560 图表记忆图表记忆法（如图法（如图，图，图）规律记忆法：规律记忆法：30，45，60角的正弦值的分母都是角的正弦值的分母都是2，分子依次为，分子依次为1，；30，45，60角的余弦角的余弦值是值是60，45，30角的正弦值角的正弦值直角直角三角三角形的形的边角边角关系关系已知条件已知条件图形图形解法解法已知始终角边和已知始终角边和一锐角一锐角（a，A）B=90-A,c=b=(或或b=)已知斜边和一个已知斜边和一个锐角锐角（c
3、，A）B=90-A,a=c sinAb=c cosA(或或b=)已知两直角边已知两直角边（a，b）c=，由，由tanA=求求A，B=90-A已知斜边和一条已知斜边和一条直角边直角边（c，a）c=，由，由tanA=求求A，B=90-A1.仰角、俯角：如图仰角、俯角：如图所示，当从低处观测高处的所示，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角，当从目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角，当从高处观测低处的的目标时，视线与水平线所成的锐高处观测低处的的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角角称为俯角2.坡角、坡度：如图坡角、坡度：如图所示，通常把所示，通常把坡面的铅垂高坡面的铅垂高度度
4、h和水平宽度和水平宽度l的比叫坡度，用字母的比叫坡度，用字母i表示；坡面表示；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作与水平面的夹角叫做坡角，记作 ，则有，则有 3.方向方向角：如图角：如图所示，所示，A点位于点位于O点的北偏东点的北偏东30方向，而方向，而B点位于点位于O点的南偏东点的南偏东60方向方向4.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个精确度：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位近似数精确到哪一位.如如3.1是精确到是精确到0.1或叫做精确或叫做精确到十分位到十分位5.5.解直角三角形实际应用题的一般步骤解直角三角形实际应用题的一般步骤(1)审题（注意仰角、俯角、坡度、水
5、平距离、垂直审题（注意仰角、俯角、坡度、水平距离、垂直距离等概念定义）距离等概念定义）(2)画图（想方法构造直角三角形，必要的情况下还画图（想方法构造直角三角形，必要的情况下还要添加帮助线）要添加帮助线）(3)转化（将实际的数量关系转化为直角三角形中元转化（将实际的数量关系转化为直角三角形中元素间的关系）素间的关系）(4)解题（灵敏应用三角函数定义及有关关系、三角解题（灵敏应用三角函数定义及有关关系、三角形的有关公式、定理等）形的有关公式、定理等）(5)答（注意单位）答（注意单位）例例1 1(2016连连云云港港)如如图图，在在ABC中中，C150，AC4，tanB(1)求求BC的长；的长；重
6、难点突破重难点突破直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系(1)【思维教练思维教练】已知已知tanB、C、AC的值，要求的值，要求BC的值，需构造直角三角形，即过点的值，需构造直角三角形，即过点A作作ADBC的延的延长线于点长线于点D，由于由于BCBDCD，所以只要求出所以只要求出BD、CD的长即可求解的长即可求解，CD可以在可以在RtACD中求解，中求解，BD可以在可以在RtABD中求解，而求中求解，而求BD的长，需先在的长，需先在RtACD中求出中求出AD的长的长解解：如解图如解图，过点，过点A作作ADBC的延长线于点的延长线于点D，ACB150，ACD30，AD=AC=2，CD=AC在在
7、RtABD中中，BC=16-【思维教练思维教练】由由(1)知知ACD30，要求要求tan15的值，的值，可以想到构造以可以想到构造以ACD为外角为外角，AC为腰的等腰三角为腰的等腰三角形即可得到含形即可得到含15角的直角三角形，从而依据锐角三角的直角三角形，从而依据锐角三角函数的定义求解角函数的定义求解(2)(2)利用此图形求利用此图形求tan1515的值的值(精确到精确到0.1.0.1.参考数据：参考数据：)解解：如解图如解图，在，在CB上截取上截取CECA4，则则CEACAE ACD15，tan15=tan15的值为的值为0.3.练习练习1 1(2016怀化怀化)在在RtABC中，中，C9
8、0，sinA=,AC6 cm，则，则BC的长度为的长度为()A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cmC【解析】【解析】sinA ，设设BC4a，则，则AB5a，AC 3a，3a6，即，即a2，故，故BC4a8 cm例例 2(2016天天水水)如如图图所所示示，某某人人在在山山坡坡坡坡脚脚A处处测测得得电电视视塔塔尖尖点点C的的仰仰角角为为60，沿沿山山坡坡向向上上走走到到P处处再再测测得得C的的仰仰角角为为45，已已知知OA200米米，山山坡坡坡坡度度为为 ，(即即tanPAB=)且且O、A、B在同一条直线上，求电视塔在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在位置的高度以及此人所在
9、位置点点P的垂直高度的垂直高度(测倾器的测倾器的高度忽视不计，结果保留根号高度忽视不计，结果保留根号)直角三角形的实际应用直角三角形的实际应用二二【思维教练思维教练】要求要求OC的值的值，已知已知CAO60，AO200米米，即可在即可在RtAOC中中，运用锐角三角函运用锐角三角函数求解；要求点数求解；要求点P的垂直高度，即可想到作帮助线的垂直高度，即可想到作帮助线PEAB，PFCO，已知已知tanPAB ，CPF45，可通过可通过CFPF列方程求解列方程求解PE的值的值解：解：如解图，过点如解图，过点P作作PEOB于点于点E，PFCO于点于点F，在在RtAOC中中，AO200，CAO60，CO
10、AOtan60 .设设PEx，tanPAB ，AE3x.在在RtPCF中中，CPF45，CF200 x，PFOAAE2003x，PFCF，2003x x，解得解得x(50)米米答：电视塔答：电视塔OC高为高为 米，点米，点P的铅直高度为的铅直高度为(50)米米练练习习2 (2016哈哈尔尔滨滨)如如图图，一一艘艘轮轮船船位位于于灯灯塔塔P的的北北偏偏东东60度度方方向向，与与灯灯塔塔P的的距距离离为为30海海里里的的A处处，轮轮船船沿沿正正南南方方向向航航行行一一段段时时间间后后，到到达达位位于于灯灯塔塔P的南偏东的南偏东30方向上的方向上的B处，处，则此时轮船所在位置则此时轮船所在位置B处与
11、处与灯塔灯塔P之间的距离为之间的距离为()A.60海里海里 B.45海里海里C.20 海里海里 D.30 海里海里D【解析解析】由题意可得：】由题意可得：B30，AP30海里，海里，APB90，故，故AB2AP60(海里海里)，则此时轮，则此时轮船所在位置船所在位置B处与灯塔处与灯塔P之间的距离为：之间的距离为：BP 30 (海里海里)练练习习3 (2016南南通通)如如图图，为为了了测测量量某某建建筑筑物物MN的的高高度度，在在平平地地上上A处处测测得得建建筑筑物物顶顶端端M的的仰仰角角为为30，向向N点点方方向向前前进进16m到到达达B处处，在在B处处测测得得建建筑物顶端筑物顶端M的仰角为的仰角为45，则建筑物则建筑物MN的高度等的高度等于于()A.8(+1)m B.8(-1)mC.16(+1)m D.16(+1)mA【解析解析】设】设BNx，则，则AN16x.在在RtBMN中，中，MBN45，BNMNx，在，在RtAMN中，中，AN ,即即16x x,解得解得x=8（+1）
