《2023年普通高等学校招生全国统一考试 数学 甲卷理科（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年普通高等学校招生全国统一考试 数学 甲卷理科（含解析）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023年全国高考甲卷数学（理科）试题注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，为整数集，则（ ）A. B. C. D.【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出【解析】因为整数集，所以故选A 2.若复数，则（ ）A.
2、 B. C. D.【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出【解析】因为，所以，解得故选C. 3.执行下面的程序框图，输出的（ ）A. B. C. D.【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出【解析】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，；当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，； 当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出故选B. 4.向量，且，则（ ）A. B. C. D.【分析】作出图形， 根据几何意义求解.【解析】因为， 所以，即， 即， 所以.如图所示， 设， 由题知，是等腰直角三角形，边上的高，所以，.故选D. 5.已知正项等比数列中，为
3、前项和，则（ ）A. B. C. D.【解析】由题知，即，即，.为正项等比数列，所以解得，故.故选C.6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A. B. C. D.【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率，利用条件概率的知识求解.【解析】报名两个俱乐部的人数为，记“某人报足球俱乐部” 事件， 记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，则，所以.故选A. 7.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】根
4、据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当，时，有，但，即推不出；当时，即能推出.综上可知，是成立的必要不充分条件.故选B. 8.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则（ ）A. B. C. D.【解析】由，则，解得.所以双曲线的一条渐近线为，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选D.9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A. B. C. D.【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【解析】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了
5、两天社区服务，再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有 1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.故选B. 10.已知为函数向左平移个单位所得函数，则与交点个数为（ ）A. B. C.3 D.4【解析】因为函数向左平移个单位可得而过与两点，分别作出与的图像如图所示，考虑，即处与的大小关系，结合图像可知有3个交点. 故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.11.在四棱锥中，底面为正方形，则的面积为（ ）A. B. C. D.【解析】如图所示，取的中点分别为，因为，所以.又，过作
6、平面，则.连接，则.令，则，.在中，因为，所以.解得，则.过作，垂足为，连接，则.所以.故选C.【评注】本题重点考查了四棱锥中侧面、底面、高、斜高等几何要素之间的关系，涉及到空间想象能力与运算求解能力，2024届的考生应在空间几何体方面强化，属中档难度.12. 已知椭圆，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，则（ ）A. B. C. D.【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设，.，解得.由椭圆焦点三角形面积公式得.，解得.则代入椭圆方程得，因此.故选B.解法二（几何性质+定义）:因为，即，联立，解得，.由中线定理可知，而，解得. 故选B.解法三（向量法）: 由解法二知，.而，所以.故选B.二
7、、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若为偶函数，则 . 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【解析】因为为偶函数，定义域为 ，所以，即，则，故 a = 2，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为2. 14.设满足约束条件，设，则的最大值为 .【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【解析】作出可行域，如图所示， 由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即，所以.故答案为. 15.在正方体中，分别为的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 . 【解析】如图所示，所以球是正方体的棱切球，即球与每条棱都有一个公共点，故填.
8、16在中，为上一点，平分，则 .【解析】如图所示，记由余弦定理可得，解得（负值舍去）.由可得，解得.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列中，设为前项和，.（1）求的通项公式.（2）求数列的前项和. 【解析】（1）因为. 当时，即.当时，即.当时，所以，化简得.当时，即.当时都满足上式，所以，.（2）因为，所以，.两式相减得，即，.18.在三棱柱中，底面，到平面的距离为1.（1）证明：；（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值.【解析】（1）因为底面，所以，又，所
9、以，又，所以平面，故平面平面，交线为，过作的垂线，垂足为，则平面，又到平面的距离为1.所以，在中，所以为的中点，又知为垂足，所以为等腰三角形，进而.（2）由（1）知，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 过作，则为中点，连接，则.因为直线与的距离为2，所以.由（1）知，在中，.设平面的法向量为，则，令，故.设直线与平面所成角大小为，即直线与平面所成角的正弦值为.19.为研究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.02
10、7.427.527.628.3（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的的分布列和数学期望 ；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：）（已按从小到大排好） 对照组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0实验组： （i）求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表；对照组实验组（ii）根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【分析】(1) 利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；(2) (i) 根所中位
11、数的定义即可求得，从而求得列联表；(ii) 利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【解析】(1)依题意，的可能取值为，则，所以的分布列为：012 故.(2)(i) 依题意，可知这只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第位与第位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第位数据为，后续依次为，故第位为，第位数据为，所以，故列联表为： 合计对照组61420实验组14620合计202040(ii) 由 (i) 可得，所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 20.设抛物线，直线与交于两点，且.（1）求；（2）设的焦点为，为
12、抛物线上的两点，求面积的最小值.【解析】（1）设，联立直线与抛物线的方程，消得，即， ，解得，（舍）.所以.（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为，设，又得，即，又，又，得，因此，即或，得或（这一步至关重要），或.设 .又或，则（当且仅当时，即时取最小值）.解法二（极坐标法）：如图所示，设与轴正半轴的夹角为，则有，从而有.其中，显然当且仅当，即时取等号.21.已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）若， ，.令得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.（2） 即.令，则.又，得（必要条件）.当时，.令，.令，由于，所以.令，则，单调递减，因此，所以，在上单调递减，.证毕.综上，的取值范围是.【评注】本题的充分性的证明也可以利用巧妙的放缩来进行.放缩一：当时，.令，.显然此时必有，符合题意.综上，当时.放缩二：当时，由逼近知.从而有时.【评注】本题考察了导数与三角函数的综合，对于结构的变形处理有一定的要求，同时还考察到了高考重难点中的含参取点问题.当遇到复杂结构时，要主动关注函数本体的结构及性质，学会从宏观的角度去简化问题.22.【选修4-4】 已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴，轴正半轴交于两点，且.（1）求的值；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极
