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1、基本不等式知识剖析1 基本不等式若a0 , b0，则a+b2ab (当且仅当a=b时，等号成立). a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数. 基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a0 , b0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2 基本不等式及其变形21a+1baba+b2a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)(调和均值几何均值算术均值平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. a+b2ab
2、，积定求和； aba+b22，和定求积： a2+b2a+b22 (联系了a+b与平方和a2+b2) aba2+b22 (联系了ab与平方和a2+b2)3 对勾函数 概念 形如y=x+ax(a0)的函数. 图像 性质 函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0xa时，函数递增. 与基本不等式的关系由图很明显得知当x0时，x=a时取到最小值ymin=2a，其与基本不等式x+ax2xax=2a (x=a时取到最小值)是一致的.经典例题【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1 一正：a0 , b0求函数y=x+1x(x0,b0的前提条件！【正解】x0 ,-1x0，-x+-1x2-x-1x=
3、2 (当x=-1取到等号)x+1x=-x-1x-2，故函数y=x+1x(x1)的最值.【误解】y=x+1x-12x1x-1【误解分析】套用基本不等式a=x ,b=1x-1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x1x-1不是一定值.【正解】y=x+1x-1=x-1+1x-1+12x-11x-1+1=3.(当x=2时取到等号)(通过凑项得到定值“x-11x-1=1”)故函数y=x+1x-1(x1)的最小值为2，没有最大值.情况3 三等：取到等号求函数y=x2+5x2+4的最值.【误解】y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+42x2+41x2+4=2，即最小值为
4、2.【误解分析】在误解中把a=x2+4 ,b=1x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则x2+4=1x2+4x2+4=1x2=-3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明x2+4+1x2+42，那它有最小值么？【正解】y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t2，因为对勾函数y=t+1t在2 , +)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.故y=x2+5x2+4的最小值为52，无最大值.【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1 直接法【典题1】设x0、y0、z0，则三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x ()A都大于4B至
5、少有一个大于4C至少有一个不小于4D至少有一个不大于4【解析】假设三个数1x+4y4且1y+4z4且1z+4x4，相加得：1x+4x+1y+4y+1z+4z0,y0，下列不等式中等号能成立的有() (x+1x)(y+1y)4； (x+y)(1x+1y)4； x2+9x2+54； x+y+2xy4；A1个B2个C3个D4个【解析】x0，y0，x+1x2,y+1y2，当x=y=1时取到=，所以成立，x+y1x+1y=2+xy+yx4，当x=y时取到=，显然成立，x2+5+4x2+5=x2+5+4x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，x+y+2xy2xy+2xy4，当x=
6、y=1时成立，故正确的有三个，故选：C【点拨】 直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当a ,b. 连等问题本题中 x+y+2xy2xy+2xy4，当x=y=1时成立，这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到，x+y2xy是当x=y时取到等号，2xy+2xy4是当xy=1时取到等号，即要同时满足方程组x=yxy=1 (*)才行，而方程组(*)有解x=y=1，即x+y+2xy4是成立的，当x=y=1取到等号.再看一例子：设x,yR*,x+y=1，求(x+1x)(y+1y)的最小值.误解1：x+1x2 , y+1y2，x+1
7、xy+1y4. 误解2：x+1xy+1y=xy+1xy+xy+yx2xy1xy+2xyyx=4. 以上两种解法问题在哪里呢？【典题3】已知实数a，b满足ab0，则aa+b-aa+2b的最大值为 .【解析】aa+b-aa+2b=aa+2b-a-ba+ba+2b=aba2+3ab+2b2=1ab+2ba+3 (分子、分母均为二次项同除ab)ab0 ab+2ba22，当且仅当ab=2baa=2b时取等号，1ab+2ba+3122+3=3-22，故最大值为3-22【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x与1x，ab与2ba，2xy与2xy之类的.方法2 凑项法【典题1
8、】若x1，则函数y=4x+1x-1的最小值为 . 【解析】y=4x+1x-1=4x-1+1x-1+424+4=8，当且仅当x=32时取等号函数y=4x+1x-1的最小值为8【点拨】把4x凑项成4x-1，目的是使得4x-1与1x-1的乘积为定值.【典题2】若x1，则2x+9x+1+1x-1的最小值是 分析：2x、9x+1、1x-1三项都不能乘积为定值，而与9x+1、1x-1乘积为定值的分别是x+1与x-1，而它们的和刚好是2x，故想到令2x=(x+1)+x-1，完成凑项.【解析】2x+9x+1+1x-1=x+1+9x+1+x-1+1x-12(x+1)9(x+1)+2(x-1)(1x-1)=8 当
9、且仅当x+1=3，x1=1，即x=2时取等号，(用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号)故2x+9x+1+1x-1的最小值是8.【典题3】设ab0，则ab+4b2+1b(a-b)的最小值是 【解析】ab0 a-b0；ab+4b2+1ba-b =ab-b2+1b(a-b)+b2+4b2 (这里巧妙地-b2+b2完成凑项)=ba-b+1ba-b+b2+4b22b(a-b)1b(a-b)+2b24b2=2+4=6当且即当b(a-b)=1b(a-b)且b2=4b2，即a=322, b=2 时取等号，ab+4b2+1b(a-b)的最小值为6【点拨】凑项的目的是使得“ab为定值”，它需要一定的技巧！
10、本题观察到4b2、1b(a-b)的分母之和b2+ba-b=ab，刚好是所求式子的第三项ab.方法3 凑系数【典题1】若0a12，则a(1-2a)的最大值是 【解析】0a0且1-2a0，则a1-2a=2a1-2a2122a+1-2a22=18，当且仅当2a=1-2a ,即a=14时等号成立，即a(1-2a)的最大值为18.【点拨】基本不等式的变形aba+b22，和定求积(若a+b为定值，可求ab的最值).本题中a+1-2a不是定值，故通过凑系数，使得2a+1-2a=1为定值从而求出最值.本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.【典题2】已知a , b为正数，4a2+b2=7，则a1
11、+b2的最大值为 【解析】因为4a2+b2=7，则a1+b2=122a1+b212(2a)2+1+b222=124a2+1+b22=2，(这里用到了不等式aba2+b22，遇到二次根式可利用平方去掉根号)当且仅当4a2=1+b2时，取得最大值【点拨】 不等式aba2+b22把ab，a2+b2两者联系在一起，知和a2+b2为定值，可求积ab的最值. 平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.21a+1baba+b2a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)方法4 巧“1”法【典题1】已知x0，y0，x+y=2，则x+y的最大值是 【解析】
12、x+12x ,y+12y (当x=y=1时取到等号) (加“1” 巧妙的把x与x，y与y联系起来)相加得x+y+22x+2y即2x+y4x+y2，故最大值为2.【典题2】已知x0，y0，且2x+1y=2，则x+2y的最小值是 【解析】2x+1y=2 12 2x+1y=1x+2y=(x+2y)1=12(x+2y)(2x+1y)=12(2+xy+4yx+2)12(4+2xy4yx)=4，当且仅当xy=4yx时，即x=2,y=1时等号成立，故 x+2y的最小值为4.【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧1法最简洁了！【典题3】设a2，b0，若a+b=3，则1a-2+1b的最小值为 【解
13、析】若a+b=3，则(a-2)+b=1，(凑项再利用巧1法)则1a-2+1b=(1a-2+1b)(a2)+b=2+(ba-2+a-2b)，又由a2 , b0，则ba-2+a-2b2ba-2a-2b=2，当a=52 , b=12时取到等号，则1a-2+1b=2+(ba-2+a-2b)4，即1a-2+1b的最小值为4.方法5 换元法【典题1】若x1，则y=x-1x2+x-1的最大值为 .【解析】令t=x-1，则x=t+1，t0，原式=t(t+1)2+(t+1)-1=tt2+3t+1=1t+1t+312t1t+3=15，当且仅当t=1即x=2时等号成立.故y=x-1x2+x-1的最大值为15.【点拨】本题是属于求函数y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.【典题1】若a,bR*，a+b=1，则a+12+b+12的最大值 .【解析】设s=a+12 ,t=
