第六章 平面向量及其应用 全章总结 (精讲）目录一、数学思想方法1、数形结合思想2、分类讨论思想3、函数与方程思想4、转化与化归思想二、重点题型精讲1、平面向量的线性运算及坐标运算2、平面向量的数量积及应用3、平面向量的共线4、平面向量的夹角与垂直5、向量的模与距离6、平面向量与其它知识的交汇题7、应用正弦定理、余弦定理解决平面几何问题8、正弦定理、余弦定理与其它知识的综合一、数学思想方法1、数形结合思想向量中的数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的;二是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的.实质是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来处理问题有关解三角形问题,自然离不开三角形,通常要把已知量和待求量集中在一个或几个三角形中,数形结合进行求解.1．（2022春·西藏拉萨·高二拉萨中学校考期末）国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了两点，在､处测得旗杆的仰角分别为.在水平面上测得且的距离为10米，则旗杆的高度为（ ）A．5 B． C．10 D．【答案】C【详解】如图所示： 设旗杆的高度为，所以，在中，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去）.故选:.2．（多选）（2022春·安徽·高三石室中学校联考阶段）如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ）A．点段上时，为定值B．点段上时，为定值C．的最大值为D．使的点轨迹长度为【答案】AC【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点，则，，，，当点段上时，，，故A正确；当点段上时，不是定值，不为定值，故B错误；由得，则，，所以，故当时，即当点与点重合时，取得最大值，故C正确；由得，直线交轴于点，交轴于点，所以，使的点轨迹为线段，且，故D错误.故选：AC.3．（2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）中国古塔多为六角形或八角形﹒已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，，则__．【答案】【详解】由投影的概念，，因为，正八边形每个内角为，则，易得为等腰直角三角形，则，所以．故答案为：4．（2022·全国·高三专题）如图，在平行四边形中，点满足，，与交于点，设，则_____.【答案】【详解】如图，设是上除点外的令一个三等分点，连接，连接交于，则.在三角形中，是两条中线的交点，故是三角形的重心，结合可知，由于是中点，故.所以，由此可知.故答案为：.5．（2022·上海徐汇·统考一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）【答案】(1)(米)(2)2022万元【详解】（1）解:由题,,同理,故,由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,则,,因为,,所以为等边三角形,则,因此三条街道的总长度为（米）.（2）由图可知,,,,在中由余弦定理可知:,则,设三条步行道每年能产生的经济总效益,则,当即时取最大值,最大值为.答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.2、分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的答案实质上,分类讨论思想就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想在解三角形时,会牵涉分类讨论思想,如:直角三角形中斜边的不确定,某一角的正弦值的不确定,三角形形状的不确定等,都要用到分类讨论的思想,实施的关键是明确对象、不重不漏、逐级讨论、综合作答.1．（2022春·江苏南京·高三期末）若正n边形的边长为2，，则（ ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【详解】解：设正n边形的内角为，则，，即，当时，，A选项错误；当时，，B选项错误；当时，，由于，所以，C选项错误；当时，，D选项正确；故选：D.2．（2022·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（ ）A．底角不等于的等腰三角形 B．锐角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【详解】由正弦定理及题意，得，．∵，∴，∴或，即或．∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．故选：D3．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）在中，角的对边分别为，且，则的面积为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【详解】因为，由正弦定理，因为，所以，因为，所以，根据余弦定理得，得或，所以或，故选：C.4．（2022春·广东深圳·高三深圳市福田区福田中学校考阶段）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若函数在上存在零点，则（ ）A．或 B．或 C． D．【答案】D【详解】在中，由正弦定理可得，即，因为，从而或．若，则，而时，，故，故在上没有零点，不符合题意，若，则，而时，，故，故在上存在零点，符合题意．故选：D．5．（2022春·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是________．①若A＝30°，b＝5，a＝2，则有2解 ②若，则 ③若，则为锐角三角形 ④若，则为等腰三角形或直角三角形【答案】②③④．【详解】①由正弦定理可得：， ，此时无解，故①错误； ②，，根据同角三角函数基本关系式可知，故②正确；③ ，且角A，B，C为的内角 ， 可知A，B，C均为锐角，则为锐角三角形，故③正确； ④，由余弦定理可得：，整理得：，或， 即或，∴为等腰三角形或直角三角形，故④正确． 故答案为：②③④．3、函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想,主要是依据题意构建恰当的函数,或建立相应的方程来解决问题,是历年高考的重点和热点.详细点说,所谓的函数思想是指先用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,再运用函数的图象与性质解决相关的问题而所谓的方程思想是分析数学中的等量关系,去构建方程或方程组,通过求解或利用方程的性质解决问题.在本章中,用余弦定理解三角形时,由于公式中有四个未知量,因此需要知三求一,对于所要求的量,可以当作方程中的未知数,通过解方程得到.在实际应用题中,通过利用正弦定理、余弦定理建立目标函数,用函数的思想解决些关于求距离、高度、角度、三角形面积等问题.1．（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）如图，在平行四边形中，，，点为与的交点，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，，知，分别为，的中点.如图，设与的交点为，易得，所以，所以.因为点是的中点，所以.由，，三点共线知，存在，满足.由，，三点共线知，存在，满足.所以.又因为，为不共线的非零向量，所以，解得，所以.故选：.2．（2022春·北京·高三统考阶段）在中，，，，Q为内一点，.若，则__________.【答案】##【详解】在中，，，,由余弦定理得，则,根据勾股定理逆定理得，因为，，所以，设，则，所以，在中，，在中，由正弦定理得：，即，所以,即，解得：，即，故答案为：3．（2022·全国·高三专题）如图所示，点是内一点，若，，，且，则________.【答案】【详解】方法一：因为，，，所以，∴由奔驰定理可得：，即，整理可得：，即，所以，则，故答案为：.方法二：在上取一点，使得，在在上取一点，使得，连接，所以，，，所以为的重心，所以，也即，所以，即，整理可得：，即，所以，则，故答案为：.4．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段）已知三角形两边之和为10，其夹角的余弦是方程的根，求这个三角形周长的最小值.【答案】【详解】依题意，不妨设三角形三边为，其中，则是方程的根，因为由，解得或，又，所以，则，所以由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，故，即，所以该三角形周长有，即该三角形周长的最小值为.5．（2022春·江西赣州·高三校联考阶段）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，则根据正弦定理有，即，又由余弦定理有，得，所以在中，得；（2）由为锐角三角形，且，则有，得，即，即，所以根据正弦定理有．6．（2022·广东·高三校考阶段）已知的内角的对边分别为，且.(1)求角A的大小；(2)设，且，求边.【答案】(1)(2)【详解】（1）的内角A，，的对边分别为，，，因为，则由正弦定理得：，即，，又，.（2）由，，，得，，又，由正弦定理，得.4、转化与化归思想解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需要通过观察、分析、类比、联想等思维过程,运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对原问题来说,转化为自己较熟悉的问题),通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化”的思想方法.在解三角形时,常用正弦定理或余弦定理“化边为角”或“化角为边”,从而发现三角形中各元素之间的关系在实际应用中,也常建立数学模型将实际问题转化为数学问题来解决.因此要理解并领悟“化归与转化”的数学思想,以便应用到要解决的问题中去.1．（2022春·四川达州·高二校考期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】因为，所以，即；因为，由正弦定理可得①；因为，所以，所以，整理得②；由①②可得，解得或（舍）.故选：B.2．（2022春·河南三门峡·高三统考阶段）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，的面积．(1)求C；(2)求的值．【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为，由正弦定理得：，即，即，因为，所以，即，由得：.（2）由得：，即，即，由余弦定理可得：。