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1、天津育才学校高二数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 化简的结果是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C2. 下列试验中，是古典概型的有 （ ） A.某人射击中靶或不中靶 B.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C.四位同学用抽签法选一人参加会议 D.运动员投篮，观察是否投中参考答案：C3. 如图：抛物线的焦点为F，弦AB过F，原点为O，抛物线准线与x轴交于点C，则等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】先求出抛物线焦点和准线方程，从而得到点坐标，由，可得直线
2、的方程，由的方程与抛物线的方程联立消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点与点的坐标，然后利用向量来求解.【详解】由抛物线可得：焦点坐标（1，0），准线方程为：；点坐标为（-1，0）；又弦过，；直线的斜率为1，方程为，又点与点抛物线上两方程联立，得到，解得： ，；故点，点；， ，由于，故 ； ；故答案选D【点睛】本题考查抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查求根公式，最后利用向量的数量积求角的三角函数值是关键，属于中档题.4. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85
3、m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性A甲 B乙 C丙 D丁参考答案：D5. 过点P（0，1）的直线与抛物线x2=2y公共点的个数为（）A0B1C2D1或2参考答案：D【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线的性质，当直线为y轴时，直线与抛物线x2=2y有一个交点，当过P且直线的斜率存在时，直线与抛物线x2=2y有两个公共点【解答】解：由题意可知：P在抛物线x2=2y内部，当直线为y轴时，直线与抛物线x2=2y有一个交点，当过P且直线的斜率存在时，直线与抛物线x2=2y有两个公共点，故选：D6. 已知定义域为R的 函数f(x)在(1,+)上为增函数，且
4、函数为奇函数，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：D分析：利用单调性判断的大小关系，再利用函数的奇偶性判断的大小关系.详解：函数为奇函数，因为在上是增函数， ，即，故选D.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.7. 已知f（x）=ax3+bx2+cx+d与x轴有3个交点（0，0），（x1，0），（x2，0），且f（x）在x=，x=时取极值，则x1
5、?x2的值为（）A4B2C6D不确定参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由f（0）=0，可得d=0f（x）=3ax2+2bx+c根据f（x）在x=，x=时取极值，可得f（）=0，f（）=0，又f（x）=x（ax2+bx+c），可得f（x1）=f（x2）=0，x1，x20可得x1x2=【解答】解：f（0）=0，d=0f（x）=3ax2+2bx+c，f（x）在x=，x=时取极值，f（）=0，f（）=0，a0，可得2+3=0，4+12=0，解得： =6，又f（x）=x（ax2+bx+c），f（x1）=f（x2）=0，x1，x20x1x2=6故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单
6、调性极值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg参考答案：D【考点】回归分析的初步应用【分析】根据回归方程为=0.85x85.71，0.850，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只
7、能进行预测，但不可断定【解答】解：对于A，0.850，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，回归方程为=0.85x85.71，该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时， =0.8517085.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D9. 已知抛物线过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点。若线段AB中点的纵坐标为2，则该抛物线准线方程为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B略10. 曲线在点M（）处的切线的斜率为A. B. C. D. 参考答案：
8、B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 椭圆的焦点分别是F1和F2，过原点O作直线与椭圆相交于A，B两点.若的面积是20，则直线AB的方程是_.参考答案：略12. 已知ax2+x+b0的解集为（1，2），则a+b=参考答案：1【考点】一元二次不等式的应用【分析】由二次不等式的解集形式，判断出1，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a，b，求出a+b的值【解答】解：ax2+x+b0的解集为（1，2），a0，1，2是ax2+x+b=0的两根2+1=，21=解得 a=，b=a+b=1故答案为：113. 已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个
9、直角三角形的三个顶点，则的面积为_.参考答案：解：依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，此时的面积为；当以点P为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，舍去。故的面积为. ww14. 若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是_； 参考答案：15. 若命题p:3是奇数，q:3是最小的素数，则p且q,p或q,非p，非q中真命题的个数为_.参考答案：2略16. 已知数列满足，则 .参考答案：略17. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种参考答案：60【考点】D3：计数原理的应用【分析】分两种
10、情况：在一个城市投资两个项目，在另一城市投资1个项目；有三个城市各获得一个投资的项目，从而可得结论【解答】解：分两种情况在一个城市投资两个项目，在另一城市投资1个项目，将项目分成2个与1个，有3种；在4个城市当中，选择两个城市作为投资对象，有43=12种，这种情况有：312=36种有三个城市各获得一个投资的项目，选择没有获得投资项目的城市，4种；安排项目与城市对应，有321=6种这种情况有，46=24种综合两种情况，有36+24=60种方案设置投资项目故答案为：60三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （13分）设椭圆的左焦点为，离心率为，过点F
11、且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为的直线与椭圆交于C、D两点，若的值.参考答案：19. 已知命题：若关于的方程无实数根，则；命题：若关于的方程有两个不相等的正实数根，则.（1）写出命题的否命题，并判断命题的真假；（2）判断命题“且”的真假，并说明理由.参考答案：（1）命题的否命题：若关于的方程有实数根，则，或.关于的方程有实根，.，化简，得，解得，或.命题为真命题.（2）对于命题：若关于的方程无实数根.则.化简，得，解得.命题为真命题.对于命题：关于的方程有两个不相等的正实数根.有，解得.命题为真命题，命题“且”为真命
12、题.20. 已知函数 （a为常数）（1）若f(x)是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）若f(x)存在两个极值点，且，求的最大值参考答案：(1) ；(2) 。【分析】（1）根据在定义域上恒成立并结合二次函数的图象求解即可（2）由（1）得极值点满足，且在上是减函数，去掉绝对值后可得，分别求出后进行化简可得，然后利用换元法可求得所求的最大值【详解】（1），设，是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，在定义域上恒成立，即在上恒成立又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，或，解得.实数的取值范围为（2）由（1）知函数的两个极值点满足，不妨设，则在上是减函数，故，令，则，又，即，解得，故，设，则，在上为增函数，即所以的最大值为【点睛】解答本题时注意两点：（1）函数单调递增（减）等价于导函数大于（小于）等于零在给定区间上恒成立，解题时不要忘了等于零（2）证明含有两个变量的不等式时，可考虑通过代换的方法将不等式转为只含有一个变量的不等式进行证明，证明不等式时通过构造函数并求出函数的最值来证是常用的方法21. 解不等式|x1|x2|2 参考答案：略22. （12分）直线与双曲线相交于不同的两点。（1）求的长度；（2）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。参考答案：
