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1、湖北省黄冈市桐梓中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在的函数存在极值点,则的取值范围是( ) 参考答案:C2. 已知函数在区间内取得极大值在区间内取得极小值,则的取值范围为 A B C D参考答案:A略3. 已知a,b为非零向量,若,当且仅当t=时,|m取得最小值,则向量a,b的夹角为A. B. C. D.参考答案:C略4. . 执行如图所示的程序框图,输出的值为( )A B C D 参考答案:C5. 设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,a3=5,Sk+2Sk=36,则k的值为
2、()A.8 B.7 C.6 D.5参考答案:A【知识点】等差数列及其前n项和. D2解析:由a1=1,a3=5得d=2,所以Sk+2Sk=,解得:k=8,故选A.【思路点拨】由等差数列的通项公式,前n项和公式求得结论.6. 若把函数的图象向右平移(0)个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是( ) A B C D参考答案:D7. 若,则等于 A B C D参考答案:C略8. 已知向量,则与夹角的余弦值为( )A B C D 参考答案:B略9. 已知集合,则 ( )A. B. C. D. 参考答案:C略10. 已知双曲线的右焦点为F,过原点O的直线与双曲线C交于A、B两点,且则的面积为
3、( )A. B. C. D. 参考答案:A【分析】根据题意画出图像,设双曲线的左焦点为,连接,即可得四边形为平行四边形,从而求出,利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出的值,利用面积公式可求出的面积,根据和的关系即可得到答案.【详解】如图,设双曲线的左焦点为,连接,依题可知四边形的对角线互相平分,则四边形为平行四边形,由可得,依题可知,由余弦定理可得:即;又因为点在椭圆上,则,所以.两式相减得,即,所以的面积为:因为为的中点,所以故选:A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,涉及到了双曲线的定义,余弦定理和面积公式,考查学生转化和化归的能力,属中档题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分
4、,共28分11. 已知点,若点是圆上的动点,则面积的最小值为 参考答案:12. 如图,椭圆中,F1、F-2分别是椭圆的左、右焦点,A、B分别是椭圆的左、右顶点,C是椭圆上的顶点,若CF1B=60,则椭圆的离心率e= 。参考答案:略13. 已知 。参考答案:514. 设实数满足=4,则的最小值为 .参考答案:15. 如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分,则实数的值为_. 参考答案:-316. 已知点P在曲线y=上,a为曲线在点P处的切线的倾斜角,则a的取值范围是_.参考答案:略17. 一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除颜色外其余完全相同),经充分混合后,从袋中随机摸出3
5、球,则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为 参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图,在以AE=2为直径的半圆周上,B、C,D分别为弧AE的四等分点。()在弧AE上随机取一点P,求满足在上的投影大于的概率;()在以O为起点,再从A,B,C,D,E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两向量数量积为x,求的概率。参考答案: 则 3分所以使得在上的射影大于的概率 5分(2)以O为起点,从A,B,C,D,E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的基本事件有: 8分其中数量积为x=的有略19. (12分)已知数列的前项和.(1
6、)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和.参考答案:(1)当时,所以.当时,.于是,即.所以数列是以为首项,公式的等比数列.所以. .4分(2)因为,所以,于是,两式相减,得,于是. .12分20. 已知,(1)若与在处的切线互相垂直,求的值;(2)设,当时,求在的最大值.参考答案:(1)又,所以,(2),只要求,令 ,,恒成立,又,令,,所以,所以,所以略21. 已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式对任意的恒成立,求a的取值范围.参考答案:(1);(2)【分析】(1)利用零点分段法去绝对值,将不等式转化为不等式组来求解得不等式的解集.(2)化简不等式为,由此得到或,结合恒
7、成立知识的运用,求得的取值范围.【详解】(1)当时,故等价于或或,解得或.故不等式的解集为.(2)当时,由得,即,即或对任意的恒成立.又,故的取值范围为.又,所以,综上,的取值范围为.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略,属于中档题.22. 设函数()讨论f(x)的单调性;()当a2时,讨论f(x)的零点个数参考答案:【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值【分析】()求出函数的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;()求出f(ea),由f(1)0,f(ea)0,及f(x)的单调性,可知f(x)在(1,ea)上
8、有唯一零点,取,则,根据函数的零点存在定理讨论即可【解答】解:()f(x)=2(x1)(lnx+a)(x0)当a=0时,f(x)=2(x1)lnx,当0x1时,f(x)0,当x1时,f(x)0当x=1时,f(x)=0f(x)在(0,+)递增;当a0时,令f(x)=0,得,此时ea1易知f(x)在(0,ea)递增,(ea,1)递减,(1,+)递增;当a0时,ea1易知f(x)在(0,1)递增,(1,ea)递减,(ea,+)递增()当a2时,由()知f(x)在(0,1)上递增,(1,ea)上递减,(ea,+)上递增,且,将x=ea代入f(x),得,a2,f(ea)0下面证明 当x(0,1)时存在x0,使f(x0)0首先,由不等式lnxx1,考虑到x22x=x(x2)0,再令,可解出一个根为,a2,就取则有f(x0)0由零点存在定理及函数f(x)在(0,1)上的单调性,可知f(x)在(0,1)上有唯一的一个零点由f(1)0,f(ea)0,及f(x)的单调性,可知f(x)在(1,ea)上有唯一零点下面证明在x(ea,+)上,存在x1,使f(x1)0,就取,则,由不等式exx+1,则ea+a(a+1)+a0,即f(x1)0根据零点存在定理及函数单调性知f(x)在(ea,+)上有一个零点综上可知,f(x)当a2时,共有3个零点