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1、2022年湖南省永州市江华县水口中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数成立，则实数的最大值为 （ ） A B C D参考答案：D略2. 已知（e为自然对数的底数），直线l是的公切线，则直线l的方程为A. B. C. D. 参考答案：C设切点分别为、，整理得解得或，所以切线方程为或，故选C.3. 如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出A，B，则A. 为的和B. 为的算术平均数C. A和B分别是中最大的数和最小的数D. A和B分别是中最小的数和最大的
2、数参考答案：C由程序框图知A为其中最大的数，B为最小的数，故选C.4. 已知函数的图像如图所示，则的解集为 ( )A B. C. D.参考答案：B5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D.参考答案：B略6. 在中，角A,B,C所对应的边分别为则“”是 “”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件参考答案：A7. 已知集合,则（ ）A B C D参考答案：本题考查集合的补集、交集运算,考查运算求解能力.因为,所以.8. 命题“，都有”的否定为（ ）A，都有 B，都有 C，都有 D都有 参考答案：C9. 若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值
3、是( )A.0 B. 1 C. D. 9参考答案：B作出不等式组表示的可行域（如下图），令，可知当直线经过点时，取得最小值0，故此时取得最小值1.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 （ ）A B C D 参考答案：C所以棱锥P-ABCD的表面积为 选C.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若满足约束条件，则的最大值为 .参考答案：4本题主要考查简单的线性规划.先画出不等式组所表示的平面区域,由图象可知,当直线过的交点时取得最大值,代入可得最大值为4,所故答案为4.12. （不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是
4、 .参考答案：.不等式可以表示数轴上的点到点和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点到点和点1的距离之和最小时即是在点和点1之间时，此时距离和为，要使不等式有解，则，解得.13. 函数在区间上为减函数，则的取值范围为 参考答案：14. 非空集合G关于运算满足：（1）对任意的都有(2)存在都有则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算： G非负整数，为整数的加法。 G偶数，为整数的乘法。 G平面向量，为平面向量的加法。 G二次三项式，为多项式的加法。 G虚数，为复数的乘法。其中G关于运算为“融洽集”的是_。（写出所有“融洽集”的序号）参考答案：答案：解析：非空集合关于运算满足：（1）对任
5、意，都有； （2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：,满足任意，都有，且令，有，所以符合要求；,若存在，则，矛盾， 不符合要求；,取，满足要求， 符合要求；，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以不符合要求；，两个虚数相乘得到的可能是实数， 不符合要求，这样关于运算为“融洽集”的有。15. 已知集合A=1，2，3，B=2，4，5，则集合AB中元素的个数为 参考答案：5【考点】并集及其运算 【专题】集合【分析】求出AB，再明确元素个数【解答】解：集合A=1，2，3，B=2，4，5，则AB=1，2，3，4，5；所以AB中元素的个数为5；故答案为：5【
6、点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题16. 如图，圆的直径，为圆周上一点， ，过作圆的切线，过作直线的垂线，为垂足，与圆交于点，则线段的长为 参考答案：无略17. 对于函数，给出下列命题：f (x)有最小值；当a=0时，f (x)的值域为R；当a0时，f (x)在区间上有反函数；若f (x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围是. 上述命题中正确的是 。(填上所有正确命题序号) .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.（）求椭
7、圆方程；（）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线与椭圆C交于P、Q两点（异于S），直线PS、QS分别交直线于A、B两点. 求证：A、B两点的纵坐标之积为定值.参考答案：（）；（）详见解析.【分析】（）求出后可得椭圆方程.（）当直线的斜率不存在，计算可得两点的纵坐标之积为.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，则，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简后可得定值.【详解】解：（）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，所以半径等于原点到直线的距离，即.由离心率，可知，且，得.故椭圆的方程为. （）由椭圆的方程可知.若直线的斜率不存在，则直线方程为，所以.则直线的方程为，
8、直线的方程为.令，得，.所以两点的纵坐标之积为.若直线的斜率存在，设直线的方程为,由得，依题意恒成立.设， 则. 设，由题意三点共线可知，所以点的纵坐标为.同理得点的纵坐标为.所以综上，两点的纵坐标之积为定值.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组，消元后得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值等问题.19. 如图1，在ABC中，AC=2，A
9、CB=90，ABC=30，P是AB边的中点，现把ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥ABCP，使得（1）求证：平面ACP平面BCP；（2）求平面ABC与平面ABP夹角的余弦值参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，得AOCP，在OCB中，有AOOB，即AO平面PCB，可证平面ACP平面CPB（2）因为AO平面CPB，且OCOE，故可如图建立空间直角坐标系，则，求出平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解【解答】解：（1）证明：在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，则AECP，在图2中，取CP的中点O，连接AO，
10、OB，因为AC=AP=CP=2，所以AOCP，且，在OCB中，由余弦定理有，所以AO2+OB2=10=AB2，所以AOOB又AOCP，CPOB=O，所以AO平面PCB，又AO?平面ACP，所以平面ACP平面CPB（2）因为AO平面CPB，且OCOE，故可如图建立空间直角坐标系，则，设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则由得；同理可求得平面ABP的法向量为，故所求角的余弦值20. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门
11、时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列；（2）求的数学期望。参考答案：分布列为： 6分（2）小时12分21. 在极坐标系中，点P的坐标是（1，0），曲线C的方程为=2以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1的直线l经过点P（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简极坐标方程，两边同乘，然后求解直角坐标方程（2）求出直线参数方
12、程，代入圆的方程，根据直线参数方程t的几何意义，求解|PA|2+|PB|2即可【解答】（本小题满分10分）解（1）由曲线C的极坐标方程可得，2=2cos+2sin，因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y点P的直角坐标为（1，0），直线l的倾斜角为135，所以直线l的参数方程为为参数）（2）将为参数）代入x2+y2=2x+2y，有，设A，B对应参数分别为t1，t2，有，根据直线参数方程t的几何意义有，|PA|2+|PB|2=22. （本小题满分13分）在中，内角分别对应的边是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积参考答案：解：（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得 2分联立方程组解得， 6分所以的面积 13分
