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1、湖南省永州市阳明山中学高一数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件,恰有1件次品的概率是( )A. B. C. D. 参考答案:D【分析】设正品为,次品为,列出所有的基本事件,根据古典概型求解即可.【详解】设正品为,次品为,任取两件所有的基本事件为,共3个基本事件,其中恰有1件次品的基本事件为,共2个,所以,故选:D【点睛】本题主要考查了古典概型,基本事件的概念,属于容易题.2. 设,则的大小关系为 ( )A B C D参考答案:D略3. 方程组的解集是 ( )A
2、B C D 参考答案:C4. 已知数列中,则数列的通项为 A、 B、 C、 D、参考答案:B5. 若与的夹角为,则的值为( ) A.B.C. D.参考答案:B 6. 已知函数f(x)=,且满足f(c)=4,则常数c=()A2B1C1或2D1或2参考答案:C【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】根据c的范围,得到关于c的方程,解出即可【解答】解:c0时,c2c+2=4,解得:c=1,c0时,2c=4,解得:c=2,故选:C7. 如果等差数列中,那么(A)14 (B)21 (C)28 (D)35参考答案:C8. .、A(0,4) B. (-1.1) C(-,0)(4,+) D参考答案:C略9.
3、将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A在区间(,)上单调递减B在区间(,)上单调递增C在区间(,)上单调递减D在区间(,)上单调递增参考答案:B【考点】函数y=Asin(x+)的图象变换【分析】根据左加右减上加下减的原则,即可直接求出将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数的解析式,进而利用正弦函数的单调性即可求解【解答】解:将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得函数的解析式:y=3sin2(x)+=3sin(2x)令2k2x2k+,kZ,可得:k+xk+,kZ,可得:当k=0时,对应的函数y=3sin
4、(2x)的单调递增区间为:(,)故选:B10. 已知是定义在上的偶函数,那么f(x)的最大值是A、0 B、 C、 D、1参考答案:C由题意:,,所以,,故二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于函数,有下列3个命题:任取,都有恒成立;,对于一切恒成立;函数在上有3个零点;则其中所有真命题的序号是 参考答案:12. 已知是定义在上的奇函数,且,则_,的值域是_参考答案:,是定义在上的奇函数,故的值域是13. 如图,ABC是直角三角形,ABC90,PA平面ABC,则此图形中有_个直角三角形参考答案:4【分析】推导出,从而平面,由此能求出图中直角三角形的个数【详解】是直角三角形
5、,平面,平面,图中直角三角形有(是直角 ),(是直角),(是直角),(是直角),图中直角三角形有4个,故答案为4.【点睛】本题考查几何体中直角三角形的个数的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想,是基础题14. 已知的值为 参考答案:略15. 直线y=x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为一边在第一象限内作等边ABC,则点C的坐标为 参考答案:【考点】两点间距离公式的应用【分析】由题意,A(,0),B(0,1),则|AB|=2,ACx轴,即可求出点C的坐标【解答】解:由
6、题意,A(,0),B(0,1),则|AB|=2,ACx轴,点C的坐标为故答案为16. 为了解中学生课外阅读情况,现从某中学随机抽取200名学生,收集了他们一年内的课外阅读量(单位:本)等数据,以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.下面有四个推断:这200名学生阅读量的平均数可能是26本;这200名学生阅读量的75%分位数在区间30,40)内;这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间20,30)内;这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间20,30)内.所有合理推断的序号是_.参考答案:【分析】由学生类别阅读量图表可知;计算75%分位数的位置,在区间内查人数即可;设在区间内
7、的初中生人数为,则,分别计算为最大值和最小值时的中位数位置即可;设在区间内的初中生人数为,则,分别计算为最大值和最小值时的25%分位数位置即可.【详解】在中,由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知,这200名学生的平均阅读量在区间内,故错误;在中,阅读量在的人数有人,在的人数有62人,所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间内,故正确;在中,设在区间内的初中生人数为,则,当时,初中生总人数为116人,此时区间有25人,区间有36人,所以中位数在内,当时,初中生总人数为131人,区间有人,区间有36人,所以中位数在内,当区间人数去最小和最大,中位数都在内,所以这名学生中的初中生阅读量的中位
8、数一定在区间内,故正确;在中,设在区间内的初中生人数为,则,当时,初中生总人数为116人,此时区间有25人,区间有36人,所以25%分位数在内,当时,初中生总人数为131人,区间有人,所以25%分位数在内,所以这名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内,故正确;故答案为:【点睛】本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算,考查学生对参数的讨论以及计算能力,属于中档题.17. 已知函数f(x)=tan(2x?),则f()=_,函数f(x)的最小正周期是_参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知Sn为数列an的前n项和,且.(1
9、)求数列an的通项公式;(2)若,求数列bn的前n项和Tn.参考答案:(1) (2) 【分析】(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系,再根据等比数列定义以及通项公式求结果,(2)根据错位相减法求结果.【详解】(1)因为,所以当时, ,相减得 , ,当时, ,因此数列 为首项为,2为公比的等比数列, (2),所以,则2,两式相减得.【点睛】本题考查错位相减法求和以及由和项求通项,考查基本求解能力,属中档题.19. 某投资公司计划投资A、B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y与投资量x成正比例,其关系如图1,B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例,其关系如图2,(注:利润与投
10、资量单位:万元)(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式;(2)该公司已有10万元资金,并全部投入A、B两种产品中,问:怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?参考答案:【考点】函数模型的选择与应用;二次函数在闭区间上的最值【分析】(1)由于A产品的利润y与投资量x成正比例,B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例,故可设函数关系式,利用图象中的特殊点,可求函数解析式;(2)设A产品投入x万元,则B产品投入10x万元,设企业利润为y万元利用(1)由此可建立函数,采用换元法,转化为二次函数利用配方法求函数的最值【解答】解:(1)设投资为x万元,A产
11、品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元由题意设f(x)=k1x,由图知,又g(4)=1.6,从而,(2)设A产品投入x万元,则B产品投入10x万元,设企业利润为y万元(0x10)令,则=当t=2时,此时x=104=6答:当A产品投入6万元,则B产品投入4万元时,该企业获得最大利润,利润为2.8万元 20. 将函数的图像向左平移个单位长度,再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图像.(1)求的单调递增区间;(2)若对于任意的,不等式恒成立,求实数m的取值范围.参考答案:(1) .(2) .【分析】(1)本题首先可通过题意中函数图像的转化得到,然后通过正弦函数的
12、相关性质即可计算出函数的单调递增区间;(2)首先通过计算出函数的最大值以及最小值,然后将转化为,即可列出不等式组,通过计算得出结果。【详解】(1)函数的图像向左平移个单位长度可得,然后将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得,令,即,故的单调递增区间为.(2)因为,所以,所以函数在上的最大值为,此时,即,最小值为,此时,即.对于任意的,不等式恒成立,即恒成立,所以,故实数的取值范围为。21. 设各项为正的数列,其前项和为,并且对所有正整数,与2的等差中项等于与2的等比中项.(1)写出数列的前二项; (2)求数列的通项公式(写出推证过程);(3)令,求的前项和参考答案:解:(1)由题意可得, ,解得:; ,解得:; (4分) (2)由得,当时,,化简得: 即 又 , (7分)因此数列是以2为首项,4为公差的等差数列,故 (8分)(3)由,得 记,其项和记为,则 , , - 得 (11分) (12分)略22. (本小题满分10分)已知角的终边上一点,且,求与的值.参考答案: