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1、江西省吉安市潭城中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()参考答案：D2. 设a，bR+，则“ab1”是“a2b21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】首先，将a2b21化简为（ab）（a+b）1，然后，结合条件a，bR+，做出判断【解答】解：设命题p：ab1；命题q：a2b21a2b21化简
2、得（ab）（a+b）1又a，bR+，p?q，q推不出p，P是q的充分不必要条件，即“ab1”是“a2b21”的充分不必要条件【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题3. 定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f（x）1，当x，时，不等式f（2cosx）2sin2的解集为（）A（，）B（，）C（0，）D（，）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】构造函数g（x）=f（x），可得g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=0，进而根据f（2cosx）2sin2可得2cosx1，解得答案【解答】解：令g（x）=f（x），则g（x）
3、=f（x）0，g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=f（1）=0，g（2cosx）=f（2cosx）cosx=f（2cosx）cosx，令2cosx1，则g（2cosx）0，即f（2cosx）+cosx，又x，且2cosx1x（，），故选：D4. 有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16 B.20 C.24 D.32参考答案：B5. 函数（其中A0,）的图象如图所示，为了得到图象， 则只需将的图象（ ）A向右平移个长度单位B向左平移个长度单位C向右平移个长度单位D向左平移个长度单位参考答案：A试题分析：由已知中函数的图像过点和点，易得：，即，即，将点代入可得，又因为，
4、所以，所以设将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则，解得所以将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像故应选A考点：由函数的部分图像确定其解析式6. 是虚数单位，则（ ）ABCD参考答案：A试题分析：故选A考点：复数的运算7. 直线与相交于点，动点、分别在直线与上且异于点，若与的夹角为，则的外接圆的面积为 A. B. C. D. 参考答案：B由题意中，由正弦定理可知，由此，故选B.8. 已知正方形如图所示，其中相较于点，分别为，的中点，阴影部分中的两个圆分别为与的内切圆，若往正方形中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）A B C. D参考答案：C依题意，不妨设，则四边形与四
5、边形的面积之和为；两个内切圆的面积之和为，故所求概率，故选C.9. 设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）A. 2 B. 4 C. D. 参考答案：C略10. 已知全集U=R，集合，则AB等于( ) A(1,2) B(2,1 C(2,1) D(2,3)参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知G为ABC的重心，令，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且，则=参考答案：3考点： 平面向量的基本定理及其意义专题： 平面向量及应用分析： 显然，根据G点为重心，从而可以用表示，而和共线，从而，而已知，从而会最后得到关于的式子：，从而得到，两式联立消去x即可求出答案
6、解答： 解：如图，=；G为ABC的重心；，；整理得，；消去x得，；故答案为：3点评： 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理12. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为的鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且，则该鳖臑外接球的表面积为_参考答案：9【分析】根据鳖臑的体积可求出,由勾股定理可求出,确定外接球球心为中点，即可得到球半径，求出球的表面积.【详解】如图， 鳖臑四个面都是直角三角形，且平面，所以，故,所以,由知,即，在直角三角形中斜边上
7、的中点到各顶点距离相等，可知AD中点O到A，B，C，D的距离相等,所以鳖臑外接球的球心为,半径，球的表面积,故答案为：【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的半径，球的表面积，棱锥的体积，属于中档题.13. 已知三棱锥，平面，其中，四点均在球的表面上，则球的表面积为参考答案：略14. 函数的图象在点处的切线与直线平行，则的极值点是 参考答案： e 15. 计算： 参考答案：16. 如图，连结函数f(x)= (x0)上任意两点,线段AB必在AB上方，设点C是线段AB的中点，则由图中C在C1的上方可得不等式：.请分析函数f(x)=lg x(x0)的图象，类比上述不等式可以得到 .参考答案：17. 已知
8、向量=（1，2），=（x，3），若，则|+|=参考答案：5【考点】平面向量的坐标运算【分析】，可得=0，解得x再利用向量模的计算公式即可得出【解答】解：， =x+6=0，解得x=6=（5，5）|+|=5故答案为：5【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于A，B两点（）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；（）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围参考答案：（）曲线的参数方程：
9、（为参数），曲线的普通方程为2分当时，直线的方程为，3分代入，可得，.；5分（）直线参数方程代入，得7分设对应的参数为，10分19. 已知函数f （x）=alnx+x2ax （a为常数）（）试讨论f （x）的单调性；（）若f （x）有两个极值点分别为x1，x2不等式f （x1）+f （x2）（x1+x2）恒成立，求的最小值参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）根据f（x1）+f（x2）=a（lnaa1），得到=lnaa1，a（4，+），令（a）=lnaa1，根据函
10、数的单调性求出的最小值即可【解答】解：（）f（x）=+xa= （x0），当a0时，解f（x）=0得，x=，f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+）； 当0a4时，x2ax+a=0的=a24a0，所以f（x）0，f（x）的增区间为（0，+），无减区间； 当a4时，=a24a0，解f（x）=0得，x1，2=，f（x）的单调增区间为（0，），（，+），单调减区间为（，）（）由（）可知f（x）有两个极值点时，设为x1，x2，则 a4，x1+x2=a，x1x2=a故f（x1）+f（x2）=alnx1+a x1+alnx2+ax2=aln（x1x2）+（+）a（x1+x2）=aln（x1x2）
11、+ （x1+x2）2x1x2a（x1+x2）=a（lnaa1）于是=lnaa1，a（4，+）令（a）=lnaa1，则（a）=因为a4，所以（a）0于是（a）=lnaa1在（4，+）上单调递减，因此=（a）（4）=ln43且可无限接近ln43又因为x1+x20，故不等式f （x1）+f （x2）（x1+x2）等价于，所以的最小值为ln4320. （16分）已知正项数列an的前n项和为Sn，且a1=a，（an+1）（an+1+1）=6（Sn+n），nN*（1）求数列an的通项公式；（2）若对于?nN*，都有Snn（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列an中的部分项按原来的顺序
12、构成数列bn，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列bn参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n2时，（an1+1）（an+1）=6（Sn1+n1），可得（an+1）（an+1an1）=6（an+1），因此an+1an1=6，分奇数偶数即可得出（2）当n为奇数时，由Snn（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出当n为偶数时，由Snn（3n+1）得，a3（n+1）恒成立，即可得出（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则an=3n1，所以an=3n1解法1：令等比数列bn的公比q=4m（mN*
13、），则设k=m（n1），可得54m（n1）=53（1+4+42+4k1）+1，=35（1+4+42+4k1）+21，因为5（1+4+42+4k1）+2为正整数，可得数列bn是数列an中包含的无穷等比数列，进而证明结论解法2：设，所以公比因为等比数列bn的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，n2时，可得kn是正整数，因此以数列bn是数列an中包含的无穷等比数列，即可证明【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n2时，（an1+1）（an+1）=6（Sn1+n1），所以（an+1）（an+1+1）（an1+1）（an+1）=6（Sn+n）6（Sn1+n1），即（an+1）（an+1an1）=6（an+1），又an0，所以an+1an1=6，（3分
