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1、2022年江西省九江市漫江中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）A升B升C升D升参考答案：A【考点】等差数列的性质【分析】自上而下依次设各节容积为：a1、a2、a9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案【解答】解：自上而下依次
2、设各节容积为：a1、a2、a9，由题意得，即，得，所以a2+a3+a8=（升），故选：A2. A是抛物线y2=2px（p0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|=4时，OFA=120，则抛物线的准线方程是（）Ax=1By=1Cx=2Dy=2参考答案：A【考点】抛物线的简单性质【分析】当|AF|=4时，OFA=120，结合抛物线的定义可求得p，进而根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程【解答】解：由题意BFA=OFA90=30，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B如图，A点到准线的距离为：d=|AB|+|BC|=p+2=4，解得p=2，则抛物线的准线方程是x=1
3、故选A3. 在长方体中，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（ ）A. B. C. D.参考答案：C.试题分析：由题意易得：，作平面于，由对称性可知，因此，问题转化为在平面内，体对角线上找一点使得最小，如下图所示，过点作它关于直线的对称点，交直线与点, 再过点作于点，交于点，则的长度即为所求的最小值，易得，.考点：立体几何中的最值问题.4. 已知，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D.设函数参考答案：A5. 已知 ，则( )（A） （B） （C） （D）参考答案：D6. 已知在0，1内有且只有一个根在区间0，2013内根的个数为( ) A2011
4、 B1006 C2013 D1007参考答案：C7. 若曲线，则点P的坐标为A.（1，0） B. （1，5） C.（1， ） D. （，2）参考答案：A略8. 若函数f（x）=x3x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为，则的值是( )ABCD参考答案：D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；三角函数的化简求值 专题：导数的综合应用分析：通过函数的导数求出切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，然后化简表达式为正切函数的形式即可求解结果解答：解：f（x）=x3x2+x+1，函数f（x）=x2x+f（x）=x3x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为，tan=故选：D点评：本题考查导数的几何意义，考查
5、切线方程，考查二倍角的三角函数的化简求值，学生的计算能力，属于基础题9. 若集合，则满足的集合的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4参考答案：D可以是共4个，选D.10. 已知函数f（x）=sin2x+2cos2x1，将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式为（）ABCD参考答案：D【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】转化思想【分析】由已知中函数f（x）=sin2x+2cos2x1，我们根据倍角公式及辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移
6、变换法则，结合已知中将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，即可求出函数y=g（x）的解析式【解答】解：函数f（x）=sin2x+2cos2x1，f（x）=sin2x+cos2x=将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，可以得到y=的图象再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=故函数y=g（x）的解析式为故选D【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（x+）的图象变换，熟练掌握y=Asin（x+）的图象变换中振幅变换、平移变换及周期变换的法则及方法是解答本题的关键二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共2
7、8分11. 已知正数x、y，满足1，则x2y的最小值 .参考答案：1812. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 参考答案：3013. 已知A. B. C. D. 参考答案：D14. 已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 . 参考答案： （-4，-2）略15. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为 .参考答案：方法一、（基本量法）由得，即 ，化简得，故方法二、等差数列中由可将化为，即，故16. 已知抛物线C：y2=4x与点M（1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若?=0，则k= 参考答案：1【考点】抛物线的简单性质【分析】设直线AB斜率为
8、k，得出AB的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出A，B两点的坐标的关系，令kMA?kMB=1列方程解出k【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），直线AB的方程为y=kxk联立方程组，消元得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+x1x2=1y1+y2=k（x1+x2）2k=，y1y2=4?=0，MAMB，kMA?kMB=1即=1，y1y22（y1+y2）+4+x1x2+x1+x2+1=0，4+4+1+2+1=0，解得k=1故答案为：117. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值是 . 参考答案：1略三、 解答题
9、：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数(1) 若在区间上是增函数，求实数的取值范围； (2) 若是的极值点，求在上的最大值； (3) 在(2)的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由。参考答案：19. 如图，某观测站C在城A的南偏西的方向，从城A出发有一条走向为南偏东的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离A城多少千米？参考答案：解：在中，由余弦定理，所以，在中，由条件
10、知，所以由正弦定理 所以 故这时此车距离A城15千米略20. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， .（）若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；（）若二面角B1DCC1的大小为60，求AD的长.参考答案：解析：解法一：（），又由直三棱柱性质知，平面ACC1A1. 由D为中点可知，即由可知平面B1C1D，又平面B1CD，故平面平面B1C1D. （）由（1）可知平面ACC1A1，如图，在面ACC1A1内过C1作，交CD或延长线或于E，连EB1，由三垂线定理可知为二面角B-1DCC1的平面角，由B1C1=2知，设AD=x，则的面积为1， ，解得，即解法二：（）如图，以C为原点，CA、
11、CB、CC1所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.则 C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）.即由，得；由，得；又，平面B1C1D.又平面B1CD，平面平面B1C1D. （）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），设平面B1CD的法向量为. 则由，令z= -1，得，又平面C1DC的法向量为，则由，即，故 21. 为预防H7N9病毒爆发，某生物技术公司研制出一种H7N9病毒疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个样本分成三组，测试结果如下表： 已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B
12、组疫苗有效的概率是0.33(I)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C组抽取样本多少个？( II)已知b465，c30，求通过测试的概率参考答案：解：（I）， -1分， -2分 应在C组抽取样个数是（个）； -4分（II），（，）的可能性是（465，35），（466，34），（467，33），（468，32），（469，31），（470，30），共6种 -7分若测试通过，则，解得，（，）的可能性是（467，33），（468，32），（469，31），（470，30），共4种-10分通过测试的概率是 -12分略22. （13分）已知数列满足：其中，数列满足： （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正数k，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.参考答案：解析：（1）经过计算可知：.求得.（4分）（2）由条件可知：.类似地有：.-有：.即：.因此：即：故所以：.（8分）（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数.则由（2）可知：由，及可知.当时，为整数，利用，结合式，反复递推，可知，均为整数.当时，变为我们用数学归纳法证明为偶数，为整数时，结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整
