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1、安徽省马鞍山市第四中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）ABCD参考答案：A考点： 球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 压轴题分析： 先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可解答： 解：ABC是边长为1的正三角形，ABC的外接圆的半径点O到面ABC的距离，SC为球O的直径点S到面ABC的距离为棱锥的体积为故选A点评： 本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题
2、的关键是确定点S到面ABC的距离2. 若函数在区间(1, )上单调递增，则实数a的取值范围是A.( , 2 B. ( , 1 C.1，) D. 2，)参考答案：C略3. 半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则球O表面积为（）A64B100C36D24参考答案：A【考点】LG：球的体积和表面积【分析】设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=R即可【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO
3、1=O2E=，AB=2AE=2=RR=4则球O表面积为4R2=64故选：A4. 函数的图象只可能是参考答案：C5. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.518岁的男生体重（），得到频率分布直方图如右图可得这100名学生中体重在（56.5， 64.5）的学生人数是（ ） A20 B30 C40 D50参考答案：答案：C6. 函数的零点所在的一个区间是（ ）A（-2，-1） B（-1，0） C（0，1） D（1，2）参考答案：B7. 设函数f(x)，若f(a)4，则实数a()A 4或2 B 4或2C2或4 D2或2参考答案：B8. 若复数，则（ ）A. 1B. z
4、C. D. 参考答案：C【分析】利用复数的模长公式和复数的除法运算可求得复数的值.【详解】，则，所以，.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数模长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9. 执行右边的程序框图，如果输入a4，那么输出的n的值为A2B3C4D5参考答案：B10. 已知等比数列an的公比为q，且a10，则“q0”是“数列an为递增数列”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：分充分性和必要性考虑，注意q的范围q0且q1解答：解：等比数列an的公比为q，且
5、a10，为大前提，且q0，且q1，充分性：“q0”时，例如0q1，推不出“数列an为递增数列”，充分性不成立；必要性：“数列an为递增数列”，则q1，可推出“q0”，必要性成立；综上，“q0”是“数列an为递增数列”的必要不充分条件，故选：B点评：本题考查充要条件，综合等比数列的相关知识求解二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在极坐标系中，圆C的方程为=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为 参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，
6、进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果解答：解：圆C的方程为=2，转化为：=2sin+2cos，进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，转化为标准形式为：（x1）2+（y1）2=2所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2xy+1=0所以：圆心到直线的距离为：d=故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用主要考查学生的应用能力12. 函数的最大值为 。参考答案：本题考查三角函数最大值的求解
7、，难度中等.因为（其中），所以其最大值是.13. 设上的两个随机数，则直线没有公共点的概率是 .参考答案：14. 已知均为锐角.,则的大小关系是 . 参考答案：cba 15. 若角终边落在射线上，则 。参考答案：16. 若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=参考答案：1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：复数=ai+1，Z的实部与虚部相等，a=1，解得a=1故答案为：1【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题17. 某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有
8、下表的统计资料：234562.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数） 参考答案：12.38，所以样本中心点是：，它在回归直线上，带入得，当时，。三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分15分） 已知抛物线的准线为，焦点为F，圆M的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点O作倾斜角为的直线，交于点A，交圆M于另一点B，且AO=OB=2. （1）求圆M和抛物线C的方程； （2）若P为抛物线C上的动点，求的最小值； （3）过上的动点Q向圆M作切线，切点为S，T
9、，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标. 参考答案：解：（1）即p=2 2分设圆M的半径为r，则所以圆的方程为：分（）设（x,y）(x0)，则 = 8分 所以当x=0时 有最小值为2 10分（3）以点Q为圆心，QS为半径作圆Q,则ST即为圆O与圆Q的公共弦 11分设Q（-1，t）则QS2=QM24= t2 ,所以圆Q的方程为从而直线QS的方程为 3xty2 =0 13分 因为一定是上述方程的解，所以直线QS恒过一个定点，且该定点坐标为 15分19. 如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面.已知,.() 求异面直线与所成的角； () 求与平面所成角的正切值参考答案：解法一：() 平
10、面，又，且，平面，又， 四边形为菱形，且平面，即异面直线与所成的角为 ()设点到平面的距离为，即又在中，与平面所成角的正弦值()设与平面所成角为，设平面的一个法向量是则 即不妨令，可得，与平面所成角的正弦值 略20. （14分） 已知椭圆，经过点（3，2）与向量（1，1）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又 （I）求椭圆C长轴长的取值范围； （II）若，求椭圆C的方程.参考答案：解析:（I）设直线l与椭圆C交于点.由 2分将由韦达定理，知得 5分对方程由将代入，得意 12分又由及，得 7分因此所求椭圆长轴长的取值范围是 9分 （II）由（I）中得， 11分 联立，解得椭圆C的方程
11、为 14分21. （本小题满分13分） 已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩例如：表中语文成绩为B等级的共有2018442人已知x与y均为B等级的概率是0.18 ABCA7205B9186Ca4b（）求抽取的学生人数；（）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；（）已知，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率.参考答案：（）. 试题分析：()由题意可知0.18，得抽取的学生人数是. () 由（）知，得到，由，得到. （）设“语文成绩为等级的总人数比语文成绩为等级的总人数少”为事件，由()易知，且利用“列举法”知，满足条件的共有组，其中满足的有组，故可得. 试题解析：()由题意可知0.18，得.故抽取的学生人数是. 2分() 由（）知，故， 4分而，故. 6分（）设“语文成绩为等级的总人数比语文成绩为等级的总人数少”为事件，由()易知，且满足条件的有共有组， 10分其中的有组， 12分则所求概率为. 13分考点：1.由个体估计总体;2.古典概型.
