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1、黑龙江省哈尔滨市亚布力中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果直线与平面，满足：和，那么必有（ ）A 且 B 且C 且 D 且参考答案：B2. 已知全集,集合,则集合（ ）A B C D参考答案：C3. 已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0。现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0。其中正确结论的序号是 （ ） A B C D参考答案：C18.记椭圆围成的区域（含边界）为（n=1,2,）.当点（x
2、,y）分别在，上时，x+y的最大值分别是M1,M2,，则=( )（A）0 （B） （C）2 （D）参考答案：D5. 在空间给出下面四个命题（其中、为不同的两条直线，、为不同的两个平面），/，/，/，/，/，/，/其中正确的命题个数有 A1个 B2个 C3个 D4个参考答案：C略6. 执行如图所示的程序框图，则输出的x=（ ）A6B7C8D9 参考答案：B执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：，不满足条件；第二循环：，不满足条件；第三循环：，不满足条件；第四循环：，不满足条件；第五循环：，不满足条件；第六循环：，不满足条件；第七循环：，满足条件，输出结果，故选B7. 已知函数的最大值是，最小值
3、是，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A. B. C. D.参考答案：D略8. 7已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A B CD 参考答案：C9. 设奇函数在（0，+）上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A（-1,0）（1，+）B（-，-1）（0,1） C（-，-1）（1，+）D（-1,0）（0,1） 参考答案：D10. 已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )A. B. 0C. D. 参考答案：D【分析】运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，
4、集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的对称轴的方程为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，所以，当时，的最小值，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二项式展开式的第三项系数为，则参考答案：112. 已知函数在（0，2上恰有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（ ）ABCD参考答案：C略13. 若向面
5、积为16的ABC内任投一点P，则PBC面积小于4的概率为 ；参考答案：略14. 设两直线与，若，则；若，则参考答案：【知识点】两直线的位置关系H2由则（3+m）（5+m）-42=0,得m=-1或m=-7,当m=-1时重合，舍去。由则（3+m）2+4（5+m）=0，m=-.【思路点拨】利用两直线的位置关系斜率的关系，求出m.15. (几何证明选做题)如图，已知的直径，为上一点，且，过点的的切线交延长线于点，则_;参考答案：3 略16. 已知向量，若，则=_ 参考答案：517. 如下图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .参考答案：15三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说
6、明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.参考答案：（1）3人，2人，1人；（2） 【知识点】等可能事件的概率；频率分布直方图B4（1）第3组的人数为0.3100=30，第4组的人数
7、为0.2100=20，第5组的人数为0.1100=10因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：6=3； 第4组：6=2； 第5组：6=1所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；（2）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C; 在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）(A1, C)，(A2, C)，(
8、A3, C)，(B1, C)，(B2, C)，共有15种其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），(B1, C)，(B2, C)，共有9种,所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为【思路点拨】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）设出3组的人数符号，然后列出所有基本事件，求出基本事件的数目，满足题意的数目，求出所求概率即可19. 已知函数f（x）=x2+alnxx（a0），g（x）=x2（）求函数f（x）的单调区间；（）若对于任意的a
9、（1，+），总存在x1，x21，a，使得f（x1）f（x2）g（x1）g（x2）+m成立，求实数m的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（）令F（x）=f（x）g（x）=x2+alnxxx2=alnxx，x1，a原问题等价于：对任意的a（1，+），总存在x1，x21，a，使得F（x1）F（x2）m成立，即F（x）maxF（x）minm，根据函数的单调性求出m的范围即可【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），令2x2x+a=0，=18a（1）当=18a0，即时，2x2x+a0恒成立，即f（x）0恒成立，故函
10、数f（x）的单增区间为（0，+），无单减区间（2）当0，即时，由2x2x+a=0解得或i）当时，0x1x2，所以当或时f（x）0当时f（x）0（3）当a0时，所以当时f（x）0，当时f（x）0；综上所述：当时，函数f（x）的单增区间为（0，+），无单减区间当时，函数f（x）的单增区间为和，单减区间为当a0时，函数f（x）的单增区间为，单减区间为（）令F（x）=f（x）g（x）=x2+alnxxx2=alnxx，x1，a原问题等价于：对任意的a（1，+），总存在x1，x21，a，使得F（x1）F（x2）m成立，即F（x）maxF（x）minm，a（1，+），x1，a，F（x）0，F（x）在x1，
11、a上单调递增，F（x）F（x）maxF（x）min=F（a）F（1）=alnaa+1，即alnaa+1m对任意的a（1，+）恒成立，令h（a）=alnaa+1，a（1，+），只需h（a）minm，h（a）=lna，a（1，+），h（a）0，h（a）在a（1，+）上单调递增，h（a）h（1）=0，所以m020. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.（）求乙投球的命中率p；（）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布表和数学期望.参考答案：解：（）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或（舍去）
12、，所以乙投球的命中率为-3分（）由题设和（）知可能的取值为0，1，2，3，-4分故-5分-6分-7分-8分的分布表为0123-9分的数学期望-10分21. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：（） 得 ，不合题意，舍去 得得 ， 综上不等式的解集为（）由（）知，则则，解得即实数的取值范围是22. 设a、b、c是两两互素的正整数，证明：2abcbeacab是不能表示为xbcyaczab形式的最大整数(其中x、y、z是非负整数)参考答案：证明：熟知在a、b互素时，对任意整数n有整数x、y，使axbyn当nabab时，首先取0xb(若xb则用xb、ya代替x、y)，我们有bynaxababaxababa(b1)b所以y1也是非负整数即nabab时，有非负整数x、y使axbyn因为a、b、c两两互素，所
