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1、浙江省丽水市壶滨中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）当0x1时，f（x）=x2若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）An（nZ）B2n（nZ）C2n或（nZ）Dn或（nZ）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的图象与图象变化；偶函数【分析】首先求出直线y=x+a与函数y=f（x）在区间0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或，又因为对任意的xR，都有f（x
2、+2）=f（x），所以要求的实数a的值为2n或2n【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x1，0，则x0，1，于是f（x）=（x）2=x2设x1，2，则（x2）1，0于是，f（x）=f（x2）=（x2）2当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点当2a0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间0，1）上相切，且与函数f（x）=（x2）2 在x1，2）上仅有一个交点时才满足条件由f（x）=2x=1，解得x=，y=，故其切点为，；由（1x2）解之得综上可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间0，2）上的图象有两个不
3、同的公共点时的a的值为0或又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n，（nZ）故应选C2. 设函数,若不等式有解，则实数的最小值为（ ）A B C D参考答案：D考点：不等式有解，导数的综合应用【名师点睛】本题考查不等式有解问题，要注意不等式有解和不等式恒成立的区别与联系，解题时都可以采取分离参数法，此题不等式可变形为，令，有解，等价于的最小值，而恒成立，等价于的最大值3. 若数列的前项和，则数列的通项公式A. B. C. D. 参考答案：D4. 圆和圆的位置关系为A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能参考答案：A5. 将函数图象上
4、各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象，设，则的图象大致为（ ）参考答案：A6. 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：7. 已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C略8. 欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ei表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二
5、象限C第三象限D第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得ei=cos（1）+isin（1），结合三角函数的符号，即可得出结论【解答】解：由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得ei=cos（1）+isin（1），cos（1）0，sin（1）0，ei表示的复数在复平面中位于第四象限故选D【点评】本题考查欧拉公式，考查三角函数知识，比较基础9. 把方程化为以t为参数的参数方程是 （ ）A B C D参考答案：A略10. 设点P是双曲线与圆在第一象限的交点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率 A B C D
6、参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线y=xcosx在点（，）处的切线方程为 参考答案：2xy=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程【解答】解：y=xcosx的导数为y=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y=2（x），即为2xy=0故答案为：2xy=0【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键12. 命题“存在，使得”的否定是 .参考答
7、案：对任意，都有.13. 已知、，且， 参考答案：略14. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M+N=16，则展开式中的常数项为 . 参考答案：15. 已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 .参考答案：将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以,则球的表面积为.16. ABC中，A=90，AC=2，D为边BC的中点，则=参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积的运算法则计算即可【解答】解：ABC中，A=90，AC=2，D为边BC的中点，则=（+）?=2+?=22=2，故答案为：2【点评】本题考查了
8、向量的数量积的运算，属于基础题17. 从集合-1，1，2，3）中随机选取一个数记为m，从集合-1，1，2）中随机选取一个数记为n，则方程表示双曲线的概率为_。参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）已知、是双曲线的左、右焦点，点是曲线上任意一点，且.（I）求曲线的方程；（II）过作一直线交曲线于、两点，若，求面积最大时直线的方程.参考答案：解析：（I）双曲线的左、右焦点分别是、由得曲线是以、为焦点、长轴长为4的椭圆。曲线的方程 4分（II）由可知点是线段的中点，设其坐标为若直线的斜率不存在，则直线的方程是,此时,点与重合.不能构
9、成三角形.若直线的斜率存在,设为,则直线的方程是 联立方程组得 将(1)代入(2),整理得: 6分设，由韦达定理可得 8分 19. 选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|xa|x+3|，aR（）当a=1时，解不等式f（x）1；（）若当x0，3时，f（x）4，求a的取值范围参考答案：【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）当a=1时，不等式为|x+1|x+3|1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（）依题意知，|xa|x+7，由此得a7且a2x+7，当x0，3时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围【解答】解：（）当a=1时，不等式为|x+
10、1|x+3|1当x3时，不等式化为（x+1）+（x+3）1，不等式不成立；当3x1时，不等式化为（x+1）（x+3）1，解得x1；当x1时，不等式化为（x+1）（x+3）1，不等式必成立综上，不等式的解集为，+）（）当x0，3时，f（x）4即|xa|x+7，由此得a7且a2x+7当x0，3时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是7，720. 已知命题p：f(x)4mx42在区间1，3上的最小值等于2；命题q：不等式x|xm|1对于任意xR恒成立；命题r：x|mx2m+1?x|x21如果上述三个命题中有且仅有一个真命题，试求实数m的取值范围参考答案：略21. （本小题满分13分）已知椭圆：的
11、左焦点为，右焦点为（1）设直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；（2）设O为坐标原点，取上不同于O的点，以OS为直径作圆与相交另外一点R, 求该圆的面积最小时点S的坐标.参考答案：解：（1）在线段的垂直平分线上，| MP | = | M |，2分故动点M到定直线：x =1的距离等于它到定点 (1，0)的距离，因此动点M的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，5分所以点M的轨迹的方程为6分(3)解：因为以OS为直径的圆与相交于点R，所以ORS = 90，即8分设S(x1，y1），R(x2，y2），则，所以即y1y2，y20，10分故，当且仅当，即时
12、等号成立12分圆的直径因为，所以当，即时，所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为(16，8)13分22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sin2cos=0，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，已知M点的坐标为（0，1），直线l的参数方程为（t为参数），且与曲线C交于A，B两点（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|MA|MB|的值参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）结合所给的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和普通方程即可；（2）联立直线的参数方程和圆的普通方程，结合韦达定理和直线参数方程的几何意义即可求得最终结果【解答】（1）x=cos，y=sin，由sin2cos=0，得2sin2=cosy2=x，即为曲线C的直角坐标方程；由消去参数t可得直线l的普通方程为y=x+1（2）把直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的方程，得：，即，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得：点M到A，B两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2
