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1、安徽省安庆市岳西县高级职业中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 一个袋子里装有编号为的12个相同大小的小球,其中1到6号球是红色球,其余为黑色球,若从中任意透出一个球,记录它的颜色和号码后再放回到袋子里,然后再摸出一个球,记录它的颜色和号码,则两次摸出的球都是红球,且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )A B C D参考答案:A2. 若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是 ( )A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 多于4个参考答案:C3. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图
2、象,则的值可以为( )ABCD 参考答案:C4. 已知F1、F2是双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称,则该双曲线的离心率为( )ABCD2参考答案:B【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出过焦点F2且垂直渐近线的直线方程,联立渐近线方程,解方程组可得对称中心的点的坐标,代入方程结合a2+b2=c2,解出e即得【解答】解:过焦点F2且垂直渐近线的直线方程为:y0=(xc),联立渐近线方程y=与y0=(xc),解之可得x=,y=故对称中心的点坐标为(,),由中点坐标公式可得对称点的坐标为(c,),将其代入双
3、曲线的方程可得,结合a2+b2=c2,化简可得c2=5a2,故可得e=故选:B【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及离心率的求解和对称问题,属中档题5. 偶函数满足,且在x0,1时, ,则关于x的方程,在x0,3上解的个数是( )A 1 B2 C3 D4参考答案:D6. 已知实数,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D. 参考答案:B【分析】利用二倍角的余弦公式可知,由单调性可知;利用二倍角的正切公式可知,根据单调性可知,从而得到结果.【详解】; 本题正确选项:【点睛】本题考查三角函数值的大小比较,关键是能够利用二倍角的余弦公式和正切公式将数字进行化简,再结合余弦函数和正切函数单调
4、性得到结论.7. 设为实数区间,若“”是“函数在上单调递减”的一个充分不必要条件,则区间可以是( )A. B. C. D.参考答案:B8. 在右边的程序框图中,当程序结束运行时,的值为A5 B7 C9 D11 参考答案:D略9. 一组数据1,1,2,3,5,8,13,x,34,中的x等于()A20B21C22D23参考答案:B【考点】F1:归纳推理【分析】从第三个数开始,后边的每一个数都是前两个数字之和,问题得以解决【解答】解:因为从第三个数开始,后边的每一个数都是前两个数字之和,则x=8+13=21,故选:B【点评】本题考查了归纳推理的问题,关键找规律,属于基础题10. 已知集合,则( )
5、A B C D参考答案:B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若曲线在原点处的切线方程是,则实数 。参考答案:212. 已知函数的定义域为,则函数的值域为_. 参考答案:略13. 不等式的解集是参考答案:(1,2)14. 已知函数,若函数f(x)在区间2,a上单调递增,则实数a的取值范围是参考答案:1,+)【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】分类讨论;转化思想;综合法;函数的性质及应用;导数的综合应用【分析】f(x)=x2+2x+a,由于函数f(x)在区间2,a上单调递增,可得:f(x)0在区间2,a上恒成立令g(x)=(x+1)2+a1,x2,a对a分类讨论即可得
6、出【解答】解:f(x)=x2+2x+a,函数f(x)在区间2,a上单调递增,f(x)=x2+2x+a0在区间2,a上恒成立令g(x)=x2+2x+a,x2,ag(x)=(x+1)2+a1,当2a1时,函数g(x)在x2,a单调递减,必有g(a)=a2+3a0,解得a3或a0,舍去当1a时,函数g(x)在x=1时取得最小值,必有g(x)g(1)=12+a0,解得a1,满足条件综上可得:a1实数a的取值范围是1,+)故答案为:1,+)【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立转化问题,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题15. 复数(其中为虚数单位)
7、的虚部为. 参考答案:-1/516. 三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,PA=PC=AB=2,AC=4,BAC=30若三棱锥PABC的四个顶点都在同一球面上,则该球的表面积为参考答案:18【考点】球的体积和表面积【分析】求出BC,可得ABC外接圆的半径,从而可求该三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥的外接球表面积【解答】解:AB=2,AC=4,BAC=30,BC=2,三角形ABC的外接圆直径AC=4,设球心为O,AC的中点为D,球的半径为R,则PD=2R2=(2R)2+4,则有该三棱锥的外接球的半径R=,该三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=4()2=18故答案为:1817. 将函数的图
8、像向左平移个单位,所得的图像对应的函数为偶函数,则的最小值为 .参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数.()若,求实数x的取值范围;()设(),若g(x)的最小值为,求a的值.参考答案:(),即或或,实数的取值范围是. 5分(),易知函数在时单调递减,在时单调递增,.,解得. 10分19. (14分)已知数列an满足:a1,且an(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1a2an2n!参考答案:解析:(1)将条件变为:1,因此1为一个等比数列,其首项为1,公比,从
9、而1,据此得an(n31)1(2)证:据1得,a1a2an为证a1a2an2显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个n?N*,有31()3用数学归纳法证明3式:(i) n1时,3式显然成立,(ii) 设nk时,3式成立,即31()则当nk1时,31()()1()()31()即当nk1时,3式也成立。故对一切n?N*,3式都成立。利用3得,31()11故2式成立,从而结论成立。20. (本小题满分13分)如图,菱形的边长为,现将沿对角线折起至位置,并使平面平面 ()求证:;()在菱形中,若,求直线与平面所成角的正弦值;()求四面体体积的最大值参考答案:()证明:取中点,连接,由于四边形为菱形,
10、 又, 平面,又平面, .() 平面平面, 平面平面, , ,两两垂直, 故以为原点,以方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系, ,菱形的边长为, , ,设平的法向量,直线与平成角为, ,取,则,于是, , 直线与平面成角的正弦值为.()法一:设, , ,又平面ABC, (),当且仅当,即时取等号,四面体PABC体积的最大值为法二:设,,又平面ABC, (), 设,则,且, ,当时,当时,当时,取得最大值,四面体PABC体积的最大值为法三:设,则, 又平面ABC,当且仅当,即时取等号,四面体PABC体积的最大值为21. 某市准备从7名报名者(其中男4人,女3人)中选3人参加三个副局长职务竞选.(
11、1)设所选3人中女副局长人数为X,求X的分布列及数学期望;(2)若选派三个副局长依次到A,B,C三个局上任,求A局是男副局长的情况下,B局是女副局长的概率。参考答案:(1)略(2) 解析:(1)X的所有可能取值为0,1,2,3依题意得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=X的分布列为:EX=0+1+2+3=(2)设事件M=“A局是男副局长”,N=“B局是女副局长”,则P(N|M)=略22. 如图,已知,是圆(为圆心)上一动点,线段的垂直平分线交于点.()求点的轨迹的方程;()若直线与曲线相交于两点,求面积的最大值.参考答案:解:()由题意得:点Q在以M、N为焦点的椭圆上,即点Q的轨迹方程为,()设点O到直线AB的距离为,则当时,等号成立ks5u当时,面积的最大值为3