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1、2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一职业高级中学高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从半径为R的球内接正方体的8个顶点及球心这9个点中任取2个点，则这两个点间的距离小于或等于半径的概率为ABCD参考答案：B2. 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，则图中的值等于 A B C D 参考答案：D略3. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，,则的虚轴为（ ） A. B. C.4 D.8参考答案：B4. 设f(x)是(,0)(0,+)上
2、的偶函数，当时，则f(x)在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】求得在时的导函数，根据偶函数的定义可求得在处的导函数；根据点斜式即可求得切线方程。【详解】当时，则由是偶函数可得，结合图象特征可知，所以在处的切线方程为，即，故选D.【点睛】本题考查了偶函数的性质，过曲线上一点切线方程的求法，属于基础题。5. 已知变量x、y满足的约束条件，则的最大值为( )A-3 B C-5 D4参考答案：D6. 平面向量，且，则 （ ）A B C D参考答案：B略7. 已知函数，则要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）（A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度（C）向
3、左平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度参考答案：A8. 从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有 入选的不同选法的种数为( ) A85 B56 C49 D28参考答案：【知识点】排列、组合J2C丙没有入选共种,其中甲乙都没有入选有种,故共种.【思路点拨】先求出丙没有入选，再求甲乙都没有入选，求得。9. 已知均为实数，“”是“直线与圆相切”的（ ） （）充要条件 （）必要非充分条件（）充分非必要条件 （）非充分非必要条件参考答案：C略10. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为A B C D参考答案：C【分析】先
4、求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率【详解】渐近线的方程是y=x，根据对称性，图象也过2=?4，=，a=2b，c=a，e=，即它的离心率为故选：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且，则四面体ABCD的体积为_，球O的表面积为_参考答案：1； 14【分析】根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，利用补图法可得该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解.【详解】因为AB，AC，AD两两垂直，且，所以四面体ABCD的体积，该四面体的外接球与以AB
5、，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，直径为该长方体的体对角线长球O的表面积为.故答案为：1，【点睛】此题考查求锥体体积，解决几何体的外接球问题，需要积累常见几何体外接球半径的求解方法，以便于解题中能够事半功倍.12. 某宾馆安排A、 B、 C、 D、 E 五人入住3个房间, 每个房间至少住1人, 且A、 B 不能住同一房间, 则共有 种不同的安排方法（ 用数字作答） 。参考答案：114【知识点】排列、组合J2【思路点拨】根据房间住人数分类求出安排方法。【题文】15若在区间 0, 1 上存在实数x使2x（3 x+a）1成立, 则a的取值范围是 。【答案】（-，1）【知识点】函数的单调性与最
6、值B3【解析】2x（3x+a）1可化为a2-x-3x，则在区间0，1上存在实数x使2x（3x+a）1成立，等价于a（2-x-3x）max，而2-x-3x在0，1上单调递减，2-x-3x的最大值为20-0=1，a1，故a的取值范围是（-，1）.【思路点拨】2x（3x+a）1可化为a2-x-3x，则在区间0，1上存在实数x使2x（3x+a）1成立，等价于a（2-x-3x）max，利用函数的单调性可求最值13. 已知直线l：y=k（x+1）与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=参考答案：8【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据直线
7、与圆相交，圆x2+y2=12可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线l过圆心O所以可以得到直线AB的倾斜角根据AOC和OBD是两个全等的直角三角形，OA=OB=2，即可求出OC和OD，由直线的倾斜角即可得到|CD|的长度【解答】解：由圆的方程x2+y2=12可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，可以得知直线l经过圆心O0=k（01），解得k=，直线AB的方程为：y=x，设直线AB的倾斜角为，则tan=，=60，在RtAOC中：|CO|=4，那么：|CD|=2|OC|=8，故答案为：814. 若对任意mR，直线xym0都不是曲线的切线，则实数
8、a的取值范围是_参考答案：略15. 若，则的值为_.参考答案：016. 与圆O：x2+y2=2外切于点A（1，1），且半径2的圆的方程为（x+3）2+（y+3）2=8；若圆C上恰有两个点到直线x+y+m=0的距离为，则实数m的取值范围是参考答案：m（0，4）（8，12）【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；直线与圆【分析】（1）两圆相切，则切点与两圆的圆心三点共线，设出所求圆的圆心为C（a，b），列方程求得a，b即可；（2）由题意可得圆心（3，3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足d3根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数m的取值范围【解答】解：设所求圆的圆心为C（a，b
9、），切点A（1，1）与两圆的圆心O、C三点共线，又|AC|=2，（xa）2+（yb）2=8解得a=3，b=3，所求圆的方程为（x+3）2+（y+3）2=8；由题意可得圆心（3，3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足d3，3，m（0，4）（8，12）故答案为：（x+3）2+（y+3）2=8，m（0，4）（8，12）【点评】本题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，属于中档题17. 已知，则的最小值是_.参考答案：4略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，四棱锥PABCD，PA底面ABCD，ABCD
10、，ABAD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点（） 证明：EF平面PAB；（） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值参考答案：解： 证明：（I）E，F分别是PC，PD的中点EFCD 又ABCD， ABEF， 又EF?平面PAB，AB?平面PAB；EF平面PAB；解：（）取线段PA中点M，连接EM，则EMAC故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小作MHAF，垂足为H，连接EHPA底面ABCD，PAAB又ABAD，PAAD=AAB平面PADEF平面PAD MH?平面PADEFMHMH平面ABEFMEH是ME与平面ABEF所成角在RtEHM中，EM=
11、AC=，MH=sinMEH=AC与平面ABEF所成角的正弦为略19. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（）在（）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.参考答案：【知识点】等可能事件的概率；频率分布直方图（）应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.（）概率为解：第3组的人数为0.
12、3100=30, 第4组的人数为0.2100=20, 第5组的人数为0.1100=10. 3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:6=3; 第4组:6=2; 第5组:6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(
13、A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. 8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为12分【思路点拨】）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（）从6名志愿者中抽取2名志愿者有15种情况，其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中有9种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出【典型总结】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键20. 如图，边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别为AE，BC的中点，AF=3（I）求证：DA平面ABEF；（）求证：MN平面CDFE;（）在线段FE上是否存在一点
