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1、江苏省南通市如东县岔河中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对可导函数,当时恒有.若已知是一个锐角三角形的两个内角,且,记.则下列等式正确的是( ) A. B.C. D.参考答案：A2. 中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为 1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（ ）A B
2、 C D参考答案：D3. 设函数的最小正周期为，且则（ ） B. D.参考答案：D略4. 九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著其第五卷商功中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若取3，估算该圆堢壔的体积为（）A1998立方尺B2012立方尺C2112立方尺D2324立方尺参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算【解答】解：设圆柱形圆堢壔的底面半径为r，则由题意得2r=48，r=8尺，又圆堢壔的高h=11尺，
3、圆堢壔的体积V=r2h=64112112立方尺故选：C【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题5. 定义两种运算：则函数（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数参考答案：【知识点】函数奇偶性的判断. B4【答案解析】A 解析：根据题意得：，由得这时，所以因为，是奇函数，所以选A.【思路点拨】先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f（x）与f（-x）的关系得结论6. 已知非零向量与满足且 则为（ ） A等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形参考答案：A 7. 已知是实数，则“
4、”是“”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件参考答案：A略8. 下列说法正确的是 A. “”是“”的充要条件B. “，”的否定是“”C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为0.8参考答案：D【知识点】命题的真假的判断A2解析：A中应为必要不充分条件；B中命题的否定为“，”；C错；D对.【思路点拨】依次判断选项即可.9. 已知复数（其中，是虚数单位），则的值为A B C0 D2
5、参考答案：D 10. 已知集合，集合则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，则这个几何体的体积为 _ 参考答案：略12. 已知命题p：1x|x2a，q：2x|x24略13. 等比数列中，已知，记，则 。参考答案：答案： 14. 复数_参考答案：。15. 在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_.参考答案：,如图，,，所以.16. 已知点是直线上一动点，PA，PB是圆的两条切线，A，B为切点，若弦AB的长的最小值为，则k的值为 参考答案：
6、圆的圆心，半径是，如图所示，根据圆的性质知，当取得最小值时，取得最小值，即有，此时圆心到直线的距离就是的最小值，故答案为.17. 正四棱锥的5个顶点都在球的表面上，过球心的一个截面如图，棱锥的底面边长为1，则球O的表面积为 . 参考答案：答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分） 海岛B上有一座高为10 m的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一艘快艇位于岛北偏东15方向上，且俯角为30的C 处，一分钟后测得该快艇位于岛北偏西75方向上，且俯角为45的D处（假设该快艇匀速直线行驶） （）求CD的长； （）又经过一段时间后
7、，邮轮到达海岛B的正西方向E处，问此时快艇距海岛B多远？参考答案：19. （12分）已知数列an是首项a1=4，公比q1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，2a3成等差数列（1）求公比q的值；（2）求Tn=a2+a4+a2n的值参考答案：【考点】： 等差数列的性质【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： （1）利用4a1，a5，2a3成等差数列，首项a1=4，公比q1，即可求公比q的值；（2）a2、a4、a2n构成a2为首项，以q2为公比的等比数列，可求Tn=a2+a4+a2n的值解 （1）由已知2a5=4a12a3，2a1q4=4a12a1q2，a10，整理得q4+q22=
8、0，解得q=1或q=1，又q1，q=1；（2）a2、a4、a2n构成a2为首项，以q2为公比的等比数列Tn=na2=4n【点评】： 本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础20. 已知函数f（x），若在定义域内存在x0，使得f（x0）=f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点（1）若a，b，cR，证明函数f（x）=ax3+bx2+cxb必有局部对称点；（2）是否存在常数m，使得定义在区间1，2上的函数f（x）=4x+2x+m有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由参考答案：【考点】函数与方程的综合运用；函数的值【专题】计算题；函数思想；转化思想；换元法；构造法；函
9、数的性质及应用【分析】（1）根据定义构造方程，再判断方程是否有解，问题得以解决（2）根据定义构造方程4x+4x+2x+2x+2m=0（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2x，方程在区间1，2内有解，再根据二次函数的最值求出m的范围即可【解答】解：（1）证明：由f（x）=ax3+bx2+cxb得f（x）=ax3+bx2cxb，代入f（x）=f（x） 得ax3+bx2+cxbax3+bx2cxb=0得到关于x的方程2bx22b=0，b0时，x=1当b=0，xR等式恒成立，所以函数f（x）=ax3+bx2+cxb必有局部对称点；（2）f（x）=4x+2x+m当f（x）=4x+2x+m时，f（
10、x）=f（x）可化为4x+4x+2x+2x+2m=0，因为f（x）的定义域为1，2，所以方程4x+4x+2x+2x+2m=0在1，2上有解令t=2x+2x，则22m=t2+tt，2m=t2+t+=（t+）2，解得m【点评】本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题21. 已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+（y3）2=4的公共弦长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另一点，求?的值参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和对
11、称性可得椭圆经过点（2，3），代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x4），由直线和圆相切的条件：d=r，可得k，再由直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得B的横坐标，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值【解答】解：（1）由题意可得e=，a2b2=c2，椭圆C与圆M：x2+（y3）2=4的公共弦长为4，可得椭圆经过点（2，3），即有+=1，解得a=4，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x4），由直线与圆x2+y2=相切，可得=，解得k=，将直线y=（x4），代入椭圆+=1，消去y，可得31x232x368=0，设B（x0，y0），可得4x0=，则?=（4，0）?（x0，y0）=4x0=22. 已知函数，.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在1,1上的最大值为1，求实数a的取值集合.参考答案：解：（1）. 当时，在上单调递减； 当时，即在上单调递减； 当时，.时，在上递减；时，在上递增；时，在上递减； 综上，当时，在上单调递减；当时，在上递减；在上递增；上递减. （2）函数在上的最大值为1.即对任意，恒成立。亦即对任意恒成立。变形可得，.当时，即，可得； 当时，.则 令，则.当时，当时，.因此，. 当时，.则令，则.当时，因此，. 综上，的取值集合为.
