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1、湖北省荆门市海慧中学高三数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为值域为9的“孪生函数”三个：（1）；（2）；（3）那么函数解析式为值域为的“孪生函数”共有（ ）A5个B4个C3个D2个参考答案：【知识点】函数的值域 B1由题意，函数解析式为，值域为，当函数值为1时，当函数值为5时，故符合条件的定义域有0，0，0，-，所以函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有3个，故选择B.【思路点拨】由所给的定义知，一系列函数的解析
2、式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，函数解析式为，值域为对自变量的可能取值进行探究，即可得出它的孪生函数的个数.2. 设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为A.0 B. C.2 D.参考答案：C略3. 命题“”的否定是A.B.C.D.参考答案：B特称命题的否定为全称命题，所以B正确.4. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A cm3B2cm3C3cm3D9cm3参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，V=31
3、3=故选A5. 已知函数，若存在实数满足其中，则的取值范围是（ ）A B C D参考答案：B试题分析：由题意知，因此，得，令，得或，由图知，令，得或，故答案为B考点：1、函数的图象；2、对数的运算性质6. 抛物线y4的焦点到直线yx的距离为 （A） （B） （C） （D）参考答案：C略7. 已知向量若与共线，则实数k =（ ）A. 0B. 1C. D. 3参考答案：B【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为与共线，所以，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.8. 如图，设地球半径为，点、在赤道上，为地心，点在北纬 60的纬线（为其圆心）上，且点、共面，若9
4、0，则异面直线与所成角的余弦值为A B C D参考答案：答案:A解析:延长交于，连,，则 ， 又，四边形是平行四边形，是和所成角在Rt中，在Rt中，在中，.9. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体 A.外接球的半径为 B.体积为 C.表面积为 D.外接球的表面积为参考答案：D略10. 已知a0,且a1,f(x)=,当x时,均有,则实数a的取值范围是( )A B C D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 古希腊亚历山大时期的数学家怕普斯(Pappus, 约300约350)在数学汇编第3卷中记载着一个定理:“如果同一平面内的一个闭
5、合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积”如图，半圆O的直径AB=6cm，点D是该半圆弧的中点，那么运用帕普斯的上述定理可以求得，半圆弧与直径所围成的半圆面(阴影部分个含边界)的重心G位于对称轴OD上，且满足OG= 参考答案：12. 大衍数列，来源于中国古代著作乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50通项公式：an=如果把这个数列an排成右侧形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A（10，4）的值为参考答案：3612【考点】归纳推理【分
6、析】由题意，前9行，共有1+3+17=81项，A（10，4）为数列的第85项，即可求出A（10，4）的值【解答】解：由题意，前9行，共有1+3+17=81项，A（10，4）为数列的第85项，A（10，4）的值为=3612故答案为361213. 若函数，则 .参考答案：150略14. 圆上到直线的距离为的点的个数是 _ .参考答案：分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，由图所示，圆上到直线的距离为的点有4个15. 已知是定义在1，1上的奇函数且，当，且时，有，若对所有、恒成立，则实数的取值范围是_参考答案： 16. 已知函数是上的偶函数，是上的奇函数
7、，则的值为_参考答案：因为，所以，即，因为是上的偶函数，所以，即，所以，即函数的周期是4，所以。因为，所以。所以。17. 在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是_;参考答案：答案：;解析：OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=;三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=+alnx（a0，aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（）若在区间1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利
8、用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（II）若在区间（0，e上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e上的最小值小于0即可利用导数研究函数在闭区间1，e上的最小值，先求出导函数f（x），然后讨论研究函数在1，e上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值【解答】解：（I）因为，（2分）当a=1，令f（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+），f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，
9、+）f（x）0+f（x）极小值所以x=1时，f（x）的极小值为1f（x）的单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1）；（6分）（II）因为，且a0，令f（x）=0，得到，若在区间1，e上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间1，e上的最小值小于0即可（7分）（1）当a0时，f（x）0对x（0，+）成立，所以，f（x）在区间1，e上单调递减，故f（x）在区间1，e上的最小值为，由，得，即（9分）（2）当a0时，若，则f（x）0对x1，e成立，所以f（x）在区间1，e上单调递减，所以，f（x）在区间1，e上的最小值为，显然，f（x）在区间1，e上的最小值小于0不成立
10、（11分）若，即1时，则有xf（x）0+f（x）极小值所以f（x）在区间1，e上的最小值为，由，得1lna0，解得ae，即a（e，+）舍去；当01，即a1，即有f（x）在1，e递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）0，不成立综上，由（1）（2）可知a符合题意（14分）【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力19. （本题满分12分）（理）已知正方形的边长为2，分别
11、是边的中点（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；（2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望参考答案：（1）所有点构成的平面区域是正方形的内部，其面积是满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、为半径、圆心角为的扇形的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（和）内部构成 其面积是所以满足的概率为（2）从这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段 其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条所以所有可能的
12、取值为且， ， ， 所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望为20. 已知函数.（1）当 时， 求不等式 的解集；（2） ， ，求 的取值范围.参考答案：（1）当时，当时，令 即，解得，当时，显然成立，所以，当时，令 即，解得，综上所述，不等式的解集为（2）因为，因为，有成立，所以只需，化简可得，解得，所以的取值范围为21. 已知函数f(x)=xlnxax2，g(x)= f (x)，（1）若，试判断函数g(x)的零点个数；（2）若函数f(x) 在定义域内不单调且在(2,+)上单调递减，求实数a的取值范围。参考答案：（解法1 ） 。1分 正0负增极大值减。3分由表可知，在处取得最大值，最大值为，因为，所以 。5分因为g(x)图像是先增后减，函数g(x)的零点个数为零个或者一个，当时g(x)有1个零点；当时g(x)无零点。 。6分（解法2 ）, 。1分得即，所以函数的零点个数等价于两函数与图像的交点个数 。2分设两者相切时切点为，则由且得。4分由图可知： 当时，两函数图像有1个交点，有1个零点；时，两函数图像无交点，无零点； 。6分（解法3 ）, 。1分
