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1、湖南省长沙市喻家坳乡中心学校 高二数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知、分别是的三个内角、所对的边，若A= 45,B=60，则等于（ ） A. B. C. D. 参考答案：A略2. 等差数列是递减数列，且，则数列的通项公式是 A B C D参考答案：A3. 平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（） 参考答案：B略4. 设集合M=1，2，N=a2，则“a=1”是“N?M”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充
2、分必要条件D既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】先由a=1判断是否能推出“N?M”；再由“N?M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论【解答】解：当a=1时，M=1，2，N=1有N?M当N?M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件故选A【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题5. 抛物线上与焦点的距离等于6的点横坐标是A1 B2 3 4 参考答案：C6. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）ABCD参考答案：B【考点】椭圆的应用；数列的应用【专题】圆锥
3、曲线的定义、性质与方程【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=22b，即a+c=2b?（a+c）2=4b2=4（a2c2），所以3a25c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e3=0，或e=1（舍去），故选B【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行7. 若随机变量的分布列如下：01230.10.20.20.30.10.1则当时，实数x的取值范围是（）x11x21x21x2参考答案：C8. 已知集合，集合，则AB=（ ）A. 2,3B. 2C.
4、(2,0)D. 2,0参考答案：D【分析】化简集合B，根据交集的定义写出AB即可【详解】集合A2，0，2，3，Bx|x2+2x0x|2x0，则AB-2，0故选：D【点睛】本题考查了集合的化简与交集的运算问题，是基础题目9. 某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（）A.2400B.2700C.3000D.3600参考答案：C试题分析：（人），故选C.10. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是（）A2 B4C D8参考答案：A【考点
5、】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面是一个边长为2的等边三角形，故底面面积S=，高h=2，故体积V=Sh=2，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点A处的切线方程为 参考答案：12. 已知i是虚数单位，则= 参考答案：【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化
6、简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：，=故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题13. 设集合数列单调递增，集合函数在区间上单调递增，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的最小值为 参考答案：略14. 如图是某几何体的三视图，其中正视图、俯视图的长均为4，宽分别为2与4，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积是 参考答案：略15. 两条平行直线之间的距离是 ；参考答案：16. 把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后，擦去第奇数行中的奇数和第偶数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an若an=9
7、02，则n=参考答案：436【考点】进行简单的演绎推理；数列的概念及简单表示法【分析】利用累加法，求出新数列每一行的第一个数的通项公式即可得到结论【解答】解：设新新数列每一行的第一个数构成数列bn，则b1=3，b2=6，b3=11，b4=18，b5=27，则b2b1=3，b3b2=5，b4b3=7，b5b4=9，bnbn1=2（n1）+1=2n1，等式两边同时相加得bnb1=3+6+（2n1）=（n+1）（n1）=n21，即bn=b1+n21=n2+2，假设an=902所处的行数为k行，则由n2+2902，得n2900，解得n30，an=902位于第30行，而且为第30行的第1个数，数列an的
8、前29行共有1+2+3+29=个，则an=902位于435+1=436个，即n=436故答案为：43617. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围是_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P是DD1的中点求证：（1）直线BD1平面PAC（2）求异面直线PC与AA1所成的角平面PAC平面BDD1参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）连接BD，交AC于O，连接PO，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得
9、证；（2）连接PC1，AA1CC1，C1CP即为异面直线PC与AA1所成的角，分别求出C1CP的三边，由解三角形即可得到所求角；运用正方形的对角线垂直和线面垂直的性质定理，可得AC平面BDD1B1，再由面面垂直的判定定理，即可得证【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，连接PO，在BDD1中，OP为中位线，可得OPBD1，又OP?平面PAC，BD1?平面PAC，则直线BD1平面PAC；（2）连接PC1，AA1CC1，C1CP即为异面直线PC与AA1所成的角，在C1CP中，C1C=2，PC=，PC1=，由PC2+PC12=CC12，可得C1CP为等腰直角三角形，则异面直线PC与AA1所成的角为
10、45；证明：在底面ABCD中，AB=AD，即有四边形ABCD为正方形，可得ACBD，D1D平面ABCD，AC?平面ABCD，即有D1DAC，D1DBD=D，可得AC平面BDD1B1，AC?平面PAC，则平面PAC平面BDD119. 已知函数f（x）=x33x29x3（1）若函数f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为y=9x+b，求b的值；（2）求函数f（x）的极值参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导数，f（x）=3x26x9，根据函数在图象上某点导数值和过该点切线斜率的关系即可求出x0的值，从而求出切点的坐标，进而求出b的值；（2）根
11、据二次函数的图象容易判断导数的符号，根据极值的定义便可求出函数f（x）的极大值和极小值【解答】解：（1）f（x）=3x26x9，根据题意，；x0=0，或2；当x0=0时，f（x0）=3；切线方程为y=9x3；b=3；当x0=2时，f（x0）=25；切线方程为y=9x7；b=7；（2）f（x）=3（x3）（x+1）；x1时，f（x）0，1x3时，f（x）0，x3时，f（x）0；f（x）的极大值为f（1）=2，f（x）的极小值为f（3）=3020. 已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90，且a=，求ABC的面积参考答案
12、：【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：0，代入可得（bk）2=2ak?ck，b2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB=（II）由（I）可得：b2=2ac，B=90，且a=，a2+c2=2ac，解得a=c=SABC=1【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21. 在ABC中，且.（1
13、）求BC边长；（2）求AB边上中线CD的长.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）利用同角的三角函数关系，可以求出的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出长；（2）利用余弦定理可以求出长，进而可以求出的长，然后在中，再利用余弦定理求出边上中线的长.【详解】（1），由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.22. 抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，它与圆相交，公共弦的长为，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程参考答案：解：由题意，抛物线方程为设公共弦MN交轴于点A，则MA=AN=，点在抛物线上，即，故抛物线的方程为或4分抛物线的焦点坐标为准线方程为抛物线的焦点坐标为准线方程为8分略
