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1、2022年浙江省温州市南雁中学高二数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设函数的反函数是,则使成立的的取值范围是A. B. C. D. 参考答案:C2. 设三棱柱ABCA1B1C1体积为V,E,F,G分别是AA1,AB,AC的中点,则三棱锥EAFG体积是()AV BV CV DV参考答案:D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由E,F,G分别是AA1,AB,AC的中点,知SAFG=,由此能求出三棱锥EAFG体积【解答】解:三棱柱ABCA1B1C1体积为V,V=SABC?AA1,E,F,G分别是AA1,A
2、B,AC的中点,SAFG=,三棱锥EAFG体积:VEAFG=SABC?AA1=故选:D【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养3. 椭圆与的( )A长轴相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.顶点相同参考答案:B4. 在研究打酣与患心脏病之间的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论,并且有以上的把握认为这个结论是成立的。下列说法中正确的是( )A100个心脏病患者中至少有99人打酣 B1个人患心脏病,那么这个人有99%的概率打酣C在100个心脏病患者中一定有打酣的人 D在100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有参考答案:
3、D5. 函数在点处的切线方程是( )AB CD参考答案:D6. 在中, 若,则的外接圆的半径为( )A B C D参考答案:A7. 若mn,pq,且(pm)(pn)0,(qm)(qn)0,则m,n,p,q从小到大排列顺序是()AmpqnBpmqnCmpnqDpmnq参考答案:A【考点】不等式比较大小【分析】把p、q看成变量,则由(qm)(qn)0,知m,n一个大于q,一个小于q由mn,知mqn;由(pm)(pn)0,知m,n一个大于p,一个小于p,由mn,知mpn由pq,知mpqn【解答】解:(qm)(qn)0,m,n一个大于q,一个小于qmn,mqn(pm)(pn)0,m,n一个大于p,一个
4、小于pmn,mpnpq,mpqn故选:A【点评】本题考查不等式大小的比较,解题时要认真审题,仔细解答,注意不等式的性质的合理运用8. 高三(1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号,31号,44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是()A8B13C15D18参考答案:D【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号【解答】解:根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为
5、18,故选:D9. 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B,则|AB|等于( ) A. 3 B. 4 C. D. 参考答案:C略10. 已知过曲线上一点,原点为,直线的倾斜角为,则P点坐标是( )A(3,4)B C(4,3) D参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,AA1=5,则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为参考答案:【考点】异面直线及其所成的角【分析】建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AC与BD1所成角的余弦值【解答】解:建立如图坐标系,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=
6、3,AA1=5,D1(0,0,5),B(3,4,0),A(3,0,0),C(0,4,0),=(3,4,5),=(3,4,0)cos,=AC与BD1所成角的余弦值故答案为:【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用12. 在一椭圆中以焦点F1,F2为直径两端点的圆,恰好过短轴的两顶点,则此椭圆的离心率等于 参考答案: 略13. 已知f(x)x22x,则_参考答案:414. 若三角形内切圆的半径为,三边长为,则三角形的面积等于,根据类比推理的方法,若一个四面体的内切球的半径为,四个面的面积分别是,则四面体的体积_.参考答案:15. 在的展开式中,
7、的系数为_ (用数字作答). 参考答案:416. 甲、乙、丙、丁四人分别去买体育彩票各一张,恰有一人中奖他们的对话如下,甲说:“我没中奖”;乙说:“我也没中奖,丙中奖了”;丙说:“我和丁都没中奖”;丁说:“乙说的是事实”已知四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,由此可判断中奖的是 参考答案:乙 17. 等比数列中,则等比数列的公比的值为 参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcosC=acosC+ccosA(I)求角C的大小;(II)若b=2,c=,求a及ABC的面积参考答
8、案:【考点】正弦定理【分析】(I)由正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理化简已知等式可得2sinBcosC=sinB,结合sinB0,可得cosC=,由于C(0,C),可求C的值(II)由已知利用余弦定理可得:a22a3=0,解得a的值,进而利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】(本题满分为12分)解:(I)2bcosC=acosC+ccosA,由正弦定理可得:2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC,可得:2sinBcosC=sin(A+C)=sinB,sinB0,cosC=,C(0,C),C=6分(II)b=2,c=,C=,由余弦定理可得:7=a2+42,整理可
9、得:a22a3=0,解得:a=3或1(舍去),ABC的面积S=absinC=12分【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题19. 设函数f(x)=lnxax(aR)(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=xb,求a,b的值;(2)若函数g(x)=f(x)+x2有两个极值点,且h(x)=axex在(1,+)有最大值,求a的取值范围;(3)讨论方程f(x)=0解的个数,并证明你的结论参考答案:考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程 专题:分类讨论;导数的概念及应
10、用;导数的综合应用分析:(1)求出函数f(x)的导数,由题意可得f(2)=1,f(2)=2b,解方程可得a,b;(2)求出g(x)的导数,由题意可得x2ax+1=0有两个正根,则=a240,且a0,解得a2,求得h(x)的导数,对a讨论,若2ae,若ae,判断h(x)的单调性,即可得到a的范围;(3)方程f(x)=0即为a=,令m(x)=(x0),求得导数,求出单调区间和最值,作出图象,通过图象对a讨论,即可得到解的个数解答:解:(1)函数f(x)=lnxax的导数f(x)=a,由函数f(x)在x=2处的切线方程为y=xb,可得f(2)=1,f(2)=2b,即为a=1,ln22a=2b,解得a
11、=,b=1ln2;(2)g(x)=lnxax+x2的导数为g(x)=a+x=g(x)有两个极值点,即有x2ax+1=0有两个正根,则=a240,且a0,解得a2,h(x)=axex的导数为h(x)=aex,若2ae,h(x)0,h(x)在(1,+)单调递减,无最大值;若ae,则当1xlna,h(x)0,h(x)递增,当xlna时,h(x)0,h(x)递减即有x=lna处取得最大值h(lna),则有ae成立;(3)方程f(x)=0即为a=,由m(x)=(x0)的导数为m(x)=,当x(0,e)时,m(x)0,m(x)递增,当x(e,+)时,m(x)0,m(x)递减即有m(x)的最大值为m(e)=
12、,y=m(x)的图象如右则当a时,y=a和y=m(x)无交点,即方程解的个数为0;当0a,y=a和y=m(x)有两个交点,即方程解的个数为2;当a0时,y=a和y=m(x)有一个交点,即方程解的个数为1点评:本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间和极值、最值,考查函数方程的转化思想的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键20. 已知椭圆的焦距为,短半轴长为2,过点P(2,1)斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B点(1)求椭圆C的标准方程;(2)求弦AB的长参考答案:【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程【分析】(1)由已知可得:2c=4,b=2,a2=b2+c2,联立解得即可得出(2
13、)直线l的方程为:y1=x+2,即y=x+3设A(x1,y1),B(x2,y2)与题意方程联立化为:4x2+18x+15=0,利用弦长公式|AB|=即可得出【解答】解:(1)由已知可得:2c=4,b=2,a2=b2+c2,联立解得:c=2,b=2,a2=12椭圆C的标准方程为=1(2)直线l的方程为:y1=x+2,即y=x+3设A(x1,y1),B(x2,y2)联立,化为:4x2+18x+15=0,x1+x2=,x1?x2=,|AB|=【点评】本题考查了题意的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题21. (本小题12分)已知函数的图象上一点P(1,0),且在P点处的切线与直线平行(1)求函数的解析式;(2)求函数在区间0,t(0t3)上的最大值和最小值;(3)在(1)的结论下,关于x的方程在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围参考答案:(1)因为f(x)3x22ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a,即32a3,所以a3.又函数过(1,0)点,即2b0,所以b2.所以f(x)x