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1、湖南省永州市平福头乡中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线C：的左右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，为半径的圆与C的公共点为P，若是直角三角形，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】利用是直角三角形可得PF1F2，且|PF2|=，结合定义解得离心率.【详解】由题意知|F1F2|2c=|PF1|，若是直角三角形，则PF1F2，且|PF2|=，又由双曲线的定义，可得|PF2|PF1|2a，可得|PF2|2a+2c=，即2a=由e，解得e，故选：C【
2、点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题2. 在四面体P-ABC中，ABC为等边三角形，边长为3，则四面体P-ABC的体积为（）A. 3B. C. D. 参考答案：C【分析】把四面体补成如图所示的三棱锥，其中，可以证明平面且、均为直角三角形，通过计算可得.【详解】如图，延长至，使得，连接，因为，故为等腰三角形，又，故，所以即，故，因为，所以，所以，因，平面，平面，所以平面，所以，因为的中点，所以，因为，故为直角三角形，所以，又，而，故即为直角三角形，所以，所以，故选C.【点睛】不规则三棱锥的体积的计算，应尽量找寻其高，如
3、果高难以确定，则可以把给定的几何体补成容易计算体积的几何体，注意补体时利用已有的垂直关系.3. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ） (A) (B) (C) (D) 参考答案：C略4. 设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两截面圆的半径分别为和，二面角的平面角为，则球的表面积为A. B. C. D. 参考答案：C略5. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC D参考答案：B【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥PABCD中挖去一
4、个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，所求的体积V=，故选：B6. 已知变量满足约束条件 则目标函数的最大值为A4 B11 C12 D14参考答案：B7. 某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（ ）A BC D参考答案：D8. 已知i为虚数单位，则复数z=在复平面内表示的点位于（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简复数z，然后求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（，
5、），位于第三象限故选：B9. 命题“，”的否定是（ ）A， B， C， D，参考答案：C10. 函数的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为，在点列中存在三个不同的点，使得是等腰直角三角形将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】令，可求对称轴方程，进而可求A1，A2，A3，An的坐标，由AkAtAp是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为1可求n，进而可得解.【详解】由，得，由题意得，即，由是等腰直角三角形，得，即，得，同理是等腰直角三角形得，得.同理是等腰直角三角形得，得则，故选C.【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性及直线垂直关系
6、的应用，还考查了归纳推理的应用，属于难题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若(a1)(32a)，则a的取值范围是_参考答案：略12. 函数的最大值是 。参考答案：试题分析：因为且所以当时，有最大值。考点：三角函数的性质.13. 数列an的通项公式，则数列an的最小项是第 项.参考答案：六14. 已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量在方向上的投影为_.参考答案：略15. 函数f（x）=xlnx在点（e，f（e）处的切线方程为参考答案：2xye=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出原函数的导函数，得
7、到函数在x=e时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案【解答】解：由f（x）=xlnx，得f（x）=lnx+1，则f（e）=lne+1=2，又f（e）=e，函数f（x）=xlnx在点（e，f（e）处的切线方程为ye=2（xe），即2xye=0故答案为：2xye=0【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题16. 若某程序框图如图所示，则运行结果为参考答案：517. 如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AFAGADAE；AFBADG其中正确结论的
8、序号是_参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分12分）如图，在三棱锥ABCD中，ABC=BCD=CDA=90，AC=，BC=CD=6，设顶点A在底面BCD上的射影为E（1）求证：CE BD：（2）设点G在棱AC上，且CG=2GA，试求二面角C一EGD的余弦值。参考答案：19. （12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（）张三选择方案甲抽奖，李
9、四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X3的概率为，求；（）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？参考答案：（）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”，因为P(X5)，所以P (A)1P(X5)1=，所以 .6分（）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)
10、2，E(X2)2，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2)6.20. （12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均
11、得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性参考答案：解：X的所有可能取值为.所以的分布列为（2）（i）由（1）得.因此，故，即.又因为，所以为公比为4，首项为的等比数列（ii）由（i）可得.由于，故，所以表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案
12、合理.21. 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足（）证明：点P在C上； （II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。参考答案：解：（I）F（0，1），的方程为，代入并化简得 2分设则由题意得所以点P的坐标为经验证，点P的坐标为满足方程故点P在椭圆C上。 6分 （II）由和题设知， PQ的垂直一部分线的方程为 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为 由、得的交点为。 9分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 12分22. （本小题满分13分）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.参考答案：证明：（）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考
