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1、北京百善中学高一数学文期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. ABC中,若,则ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 参考答案:D2. (5分)一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减这种放射性元素的半衰期(剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期)是(精确到0.1已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)()A52B6.6C71D83参考答案:B考点:根据实际问题选择函数类型 专题:应用题分析:设所需的年数为x,得方程,两边取对数,再用换底公式变形,代入已
2、知数据可得x的近似值,四舍五入即可得出正确答案解答:设该元素的质量衰减到一半时所需要的年数为x,可得化简,得即6.6故选B点评:本题以实际问题为载体,考查指数函数模型的构建,考查解指数方程,属于基础题3. 若函数都是奇函数,且在上有最大值6,则在上 ( ) A有最小值-2 B有最大值-5 C有最小值-1 D有最大值-3参考答案:A略4. 集合1,2,3的真子集共有( )A5个 B.6个 C.7个 D.8个参考答案:C略5. sin45的值等于( ) A B C D1参考答案:B6. 下列函数是偶函数的是()Ay=x2,x0,1By=x3Cy=2x23Dy=x参考答案:C【考点】函数奇偶性的判断
3、【专题】计算题;函数的性质及应用【分析】利用偶函数的性质判断即可【解答】解:A、y=x2,x0,1,图象不关于y轴对称,不是偶函数;B、f(x)=(x)3=x3=f(x),此函数为奇函数;C、f(x)=2(x)23=2x23=f(x),此函数为偶函数;D、f(x)=f(x),此函数为奇函数,故选:C【点评】此题考查了函数奇偶性的判断,熟练掌握偶函数的定义是解本题的关键7. 若不等式对任意实数均成立,则实数的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、参考答案:B8. 已知,则=( )ABCD参考答案:C略9. 四面体ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EFAB,则EF与CD所成
4、的角等于()A30B45C60D90参考答案:A【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】取AD的中点G,连接EG、FG,由三角形中位线定理得EGCD,从而得到GEF是EF与CD所成的角,由此能求出EF与CD所成的角的大小【解答】解:设CD=2AB=2,取AD的中点G,连接EG、FG,E、F分别为AC、BD中点,EGCD,且EG=,FGAB,且FG=EFAB,FGAB,EFFGEGCD,GEF是EF与CD所成的角,在RtEFG中,EG=1,GF=,EFFG,GEF=30,即EF与CD所成的角为30故选:A【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思
5、维能力的培养10. 在ABC中,tanA,cosB,则sinCA. B. 1 C. D. 2参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在区间2,5上取得的最大值是 。参考答案:1 12. (5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线CB1与平面BDD1B1所成的角的大小为 参考答案:30考点:直线与平面所成的角 专题:空间角分析:根据线面角的定义先确定B1OC为所求的线面角,即可得到结论解答:解:连接AC,BD,交于O,连接B1O,则AC平面BDD1B1,则B1OC为直线CB1与平面BDD1B1所成的角,设正方体的棱长为1,则AC=,OC=,CB1=,sin
6、B1OC=,B1OC=30,故答案为:30点评:本题主要考查直线和平面所成角的求解,根据定义先求出线面角是解决本题的关键13. 如图所示,空间四边形ABCD中,平面ABD平面BCD,BAD=90,BCD=90,且AB=AD,则AC与平面BCD所成的角为参考答案:45【考点】MI:直线与平面所成的角【分析】首先利用面面垂直转化出线面垂直,进一步求出线面的夹角,最后通过解直角三角形求得结果【解答】解:取BD的中点E,连接AE,CE,由于平面ABD平面BCD,BAD=90,且AB=AD所以:AEBD进一步得:AE平面BCD所以:ACE就是直线AC与平面BCD的角又BCD=90,所以:CE=AEC为直
7、角三角形所以:ACE=45故答案为:4514. 在等差数列an中,已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8= 。参考答案:1415. 已知圆的圆心是直线与直线的交点,直线与圆相交于,两点,且|AB|=6,则圆的方程为 参考答案: 16. 已知函数f(x)若f(x)在(a,a+)上既有最大值又有最小值,则实数a的取值范围是 参考答案:(,0)【考点】函数的最值及其几何意义【分析】画出函数f(x)的图象,若f(x)在上既有最大值又有最小值,结合图象得到,解得即可【解答】解:f(x)的图象如图所示f(x)在上既有最大值又有最小值,解得a0,故a的取值范围为(,0),故答案为:(,0),17.
8、 开始时,桶1中有aL水,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线,那么桶2中水就是,假设过5分钟时,桶1与桶2的水相等,则再过_分钟桶1中的水只有.参考答案:10三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 二次函数的部分对应值如下表:-3-2-10123460-4-6-6-406求不等式的解集参考答案:解:表格中给出了很多组数据,但关键有3组,即:、和。由表中数值作图,可以看出二次函数图象开口向上,且过、两点,所以当或时,故不等式的解集是:或19. 对于函数f(x),若存在实数对(a,b),使得等式对定义域中的任意x都成立,则称函数f(x)是“(a,b)型函
9、数”(1)若函数是“(a,b)型函数”,且,求出满足条件的实数对(a,b);(2)已知函数函数g(x)是“(a,b)型函数”,对应的实数对(a,b)为(1,4),当时,若对任意时,都存在,使得,试求m的取值范围参考答案:(1)由题意,若是“(a,b)型函数”,则,即, 代入得 ,所求实数对为(2)由题意得:g(x)的值域是h(x)值域的子集,易知h(x)在的值域为1,4,只需使当时,恒成立即可,,即,而当时, 故由题意可得,要使当时,都有,只需使当时,恒成立即可,即在0,1上恒成立,若:显然不等式在0,1上成立,若:则可将不等式转化为,因此只需上述不等式组在0,1)上恒成立,显然,当时,不等式
10、(1)成立,令在0,1)上单调递增,故要使不等式(2)恒成立,只需即可,综上所述,所求m的取值范围是(0,3.20. (1)设函数,求证:函数f(x)在(,+)上是增函数;(2)若f(x)=(log4x3)?log44xm在区间1,2上恒成立,求实数m的取值范围参考答案:【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明【分析】(1)由,可求得f(x)=0,可证得函数f(x)在(,+)上是增函数;(2)依题意,可求得当x1,2时,f(x)min=,f(x)=(log4x3)?log44xm在区间1,2上恒成立?mf(x)min,从而可求得实数m的取值范围【解答】解:(1)证明:,f(x)=0,函数
11、f(x)在(,+)上是增函数;(2)1x2,0log4x,又f(x)=(log4x3)?log44x=(log4x3)?(1+log4x)=2log4x3=(log4x1)24,当x=2,log4x=时,f(x)取得最小值,为f(2)=,f(x)m在区间1,2上恒成立?mf(x)min=,即实数m的取值范围为(,)21. 已知向量=(3,2),=(1,2),且= 0,|=3()求向量的坐标;()求|3|的值参考答案:【考点】平面向量数量积的运算【分析】()设出的坐标,根据题意列出方程组,求出解即可;()根据平面向量的坐标运算与数量积运算,求出模长即可【解答】解:()设=(x,y),=(3,2),=(1,2),且=0,|=3,解得,向量的坐标为=(0,3);()=(0,3),3=3(3,2)(0,3)=(9,3);|3|=322. (本小题满分14分) 如图,已知圆分别与轴,轴的正半轴交于点,直线分别与轴,轴的正半轴交于点(1)求证:直线恒过定点,并求出定点的坐标。(2)求证:直线与圆恒有两个不同的交点;(3)当点恒在圆内部时,试求四边形面积的最大值及此时直线的方程。参考答案: