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1、北京百善中学高一数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ABC中，若，则ABC是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 参考答案：D2. （5分）一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（精确到0.1已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）A52B6.6C71D83参考答案：B考点：根据实际问题选择函数类型 专题：应用题分析：设所需的年数为x，得方程，两边取对数，再用换底公式变形，代入已
2、知数据可得x的近似值，四舍五入即可得出正确答案解答：设该元素的质量衰减到一半时所需要的年数为x，可得化简，得即6.6故选B点评：本题以实际问题为载体，考查指数函数模型的构建，考查解指数方程，属于基础题3. 若函数都是奇函数，且在上有最大值6，则在上 （ ） A有最小值-2 B有最大值-5 C有最小值-1 D有最大值-3参考答案：A略4. 集合1，2，3的真子集共有（ ）A5个 B.6个 C.7个 D.8个参考答案：C略5. sin45的值等于（ ） A B C D1参考答案：B6. 下列函数是偶函数的是（）Ay=x2，x0，1By=x3Cy=2x23Dy=x参考答案：C【考点】函数奇偶性的判断
3、【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利用偶函数的性质判断即可【解答】解：A、y=x2，x0，1，图象不关于y轴对称，不是偶函数；B、f（x）=（x）3=x3=f（x），此函数为奇函数；C、f（x）=2（x）23=2x23=f（x），此函数为偶函数；D、f（x）=f（x），此函数为奇函数，故选：C【点评】此题考查了函数奇偶性的判断，熟练掌握偶函数的定义是解本题的关键7. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、参考答案：B8. 已知，则=（ ）ABCD参考答案：C略9. 四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EFAB，则EF与CD所成
4、的角等于（）A30B45C60D90参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】取AD的中点G，连接EG、FG，由三角形中位线定理得EGCD，从而得到GEF是EF与CD所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小【解答】解：设CD=2AB=2，取AD的中点G，连接EG、FG，E、F分别为AC、BD中点，EGCD，且EG=，FGAB，且FG=EFAB，FGAB，EFFGEGCD，GEF是EF与CD所成的角，在RtEFG中，EG=1，GF=，EFFG，GEF=30，即EF与CD所成的角为30故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思
5、维能力的培养10. 在ABC中，tanA，cosB，则sinCA. B. 1 C. D. 2参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在区间2，5上取得的最大值是 。参考答案：1 12. （5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线CB1与平面BDD1B1所成的角的大小为 参考答案：30考点：直线与平面所成的角 专题：空间角分析：根据线面角的定义先确定B1OC为所求的线面角，即可得到结论解答：解：连接AC，BD，交于O，连接B1O，则AC平面BDD1B1，则B1OC为直线CB1与平面BDD1B1所成的角，设正方体的棱长为1，则AC=，OC=，CB1=，sin
6、B1OC=，B1OC=30，故答案为：30点评：本题主要考查直线和平面所成角的求解，根据定义先求出线面角是解决本题的关键13. 如图所示，空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，BAD=90，BCD=90，且AB=AD，则AC与平面BCD所成的角为参考答案：45【考点】MI：直线与平面所成的角【分析】首先利用面面垂直转化出线面垂直，进一步求出线面的夹角，最后通过解直角三角形求得结果【解答】解：取BD的中点E，连接AE，CE，由于平面ABD平面BCD，BAD=90，且AB=AD所以：AEBD进一步得：AE平面BCD所以：ACE就是直线AC与平面BCD的角又BCD=90，所以：CE=AEC为直
7、角三角形所以：ACE=45故答案为：4514. 在等差数列an中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8= 。参考答案：1415. 已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且|AB|=6，则圆的方程为 参考答案： 16. 已知函数f(x)若f（x）在(a，a+)上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是 参考答案：（，0）【考点】函数的最值及其几何意义【分析】画出函数f（x）的图象，若f（x）在上既有最大值又有最小值，结合图象得到，解得即可【解答】解：f（x）的图象如图所示f（x）在上既有最大值又有最小值，解得a0，故a的取值范围为（，0），故答案为：（，0），17.
8、 开始时,桶1中有aL水,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线,那么桶2中水就是,假设过5分钟时,桶1与桶2的水相等,则再过_分钟桶1中的水只有.参考答案：10三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 二次函数的部分对应值如下表：-3-2-10123460-4-6-6-406求不等式的解集参考答案：解：表格中给出了很多组数据，但关键有3组，即：、和。由表中数值作图，可以看出二次函数图象开口向上，且过、两点，所以当或时，故不等式的解集是：或19. 对于函数f(x)，若存在实数对(a，b)，使得等式对定义域中的任意x都成立，则称函数f(x)是“(a，b)型函
9、数”（1）若函数是“(a，b)型函数”，且，求出满足条件的实数对(a，b)；（2）已知函数函数g(x)是“(a，b)型函数”，对应的实数对(a，b)为(1,4)，当时，若对任意时，都存在，使得，试求m的取值范围参考答案：（1）由题意，若是“(a，b)型函数”，则,即, 代入得 ，所求实数对为（2）由题意得：g(x)的值域是h(x)值域的子集，易知h(x)在的值域为1,4，只需使当时，恒成立即可，,即，而当时, 故由题意可得，要使当时,都有，只需使当时，恒成立即可，即在0,1上恒成立，若：显然不等式在0,1上成立，若：则可将不等式转化为，因此只需上述不等式组在0,1)上恒成立，显然，当时，不等式
10、（1）成立，令在0,1)上单调递增，故要使不等式（2）恒成立，只需即可，综上所述,所求m的取值范围是(0,3.20. （1）设函数，求证：函数f（x）在（，+）上是增函数；（2）若f（x）=（log4x3）?log44xm在区间1，2上恒成立，求实数m的取值范围参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明【分析】（1）由，可求得f（x）=0，可证得函数f（x）在（，+）上是增函数；（2）依题意，可求得当x1，2时，f（x）min=，f（x）=（log4x3）?log44xm在区间1，2上恒成立?mf（x）min，从而可求得实数m的取值范围【解答】解：（1）证明：，f（x）=0，函数
11、f（x）在（，+）上是增函数；（2）1x2，0log4x，又f（x）=（log4x3）?log44x=（log4x3）?（1+log4x）=2log4x3=（log4x1）24，当x=2，log4x=时，f（x）取得最小值，为f（2）=，f（x）m在区间1，2上恒成立?mf（x）min=，即实数m的取值范围为（，）21. 已知向量=（3，2），=（1，2），且= 0，|=3（）求向量的坐标；（）求|3|的值参考答案：【考点】平面向量数量积的运算【分析】（）设出的坐标，根据题意列出方程组，求出解即可；（）根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出模长即可【解答】解：（）设=（x，y），=（3，2），=（1，2），且=0，|=3，解得，向量的坐标为=（0，3）；（）=（0，3），3=3（3，2）（0，3）=（9，3）；|3|=322. （本小题满分14分） 如图，已知圆分别与轴，轴的正半轴交于点，直线分别与轴，轴的正半轴交于点（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标。（2）求证：直线与圆恒有两个不同的交点；（3）当点恒在圆内部时，试求四边形面积的最大值及此时直线的方程。参考答案：
