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1、江苏省南京市实验国际学校高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A. 3 B. 4 C. 5 D. 6参考答案：C略2. 已知函数的最小正周期为= （ ） A B C1 D2参考答案：D略3. 设，不共线的两个向量，若命题p：0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的 （）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可
2、得出【解答】解：，不共线的两个向量，若命题p：0，则0?夹角是锐角，因此命题p是命题q成立的充要条件故选：C4. 已知是第一象限角，sin=，则tan=（）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】由题意首先求得tan的取值范围，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系得到关于的方程，解方程即可确定的值.【详解】是第一象限角，sin，2k2k，kZ，kk，kZ，0tan1，sin2sincos，整理得：12tan225tan120，解得tan（舍去）或tan故选D【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知ABC中，内角A
3、，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2bc，bc=4，则ABC的面积为( )AB1CD2参考答案：C考点：余弦定理 专题：解三角形分析：由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解解答：解：a2=b2+c2bc，由余弦定理可得：cosA=，又0A，可得A=60，sinA=，bc=4，SABC=bcsinA=故选：C点评：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查6. 直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取 值范围是A. B. C. D. 参考答案：B7. 方程在2,4内根的个数为（ ）A.6个
4、B.7个 C.5个 D.8个参考答案：D由原方程的得：,同一坐标系作出函数图像如图由图象可知，共有8个交点，故选D.8. 已知向量，满足|=1，|=(，1)，=1，则与的夹角为（）ABCD参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的夹角公式计算即可【解答】解：设与的夹角为，|=1，|=2，cos=，0，=，故选：B9. 如图，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则的周长的取值范围是（ ）A. (2,6)B. (6,8)C. (8,12)D. (10,14)参考答案：C【分析】由抛物线定义可得，从而的周长，确定点横坐标的范围，即可得到
5、结论【详解】抛物线的准线，焦点，由抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，故选 C.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定点横坐标的范围是关键，属于中档题.10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( )A.-1 B. -2 C.1 D. 2参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. A袋中有1个红球2个白球，B袋中有2个红球1个白球，从A袋中任取一个球与B袋中任取一个互换，这样的互换进行了一次. 那么，A袋中至少有一个红球的概率是 参考答案：略13.设公比为q（q0）的等比数列
6、an的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_。参考答案：213. 称离心率为的双曲线为黄金双曲线如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：双曲线是黄金双曲线；若，则该双曲线是黄金双曲线；若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，-b）且F1B1A2=90，则该双曲线是黄金双曲线；若MN经过右焦点F2且MNF1F2，MON=90，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为 参考答案：14. 设Sn为数列an的前n项和，若Sn=5an1，则an=参考答案：【考点】数列递推式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知的数列
7、递推式求出首项，再由数列递推式得到数列an是以为首项，以为公比的等比数列则an可求【解答】解：由Sn=5an1，取n=1，得a1=5a11，；当n2时，an=SnSn1=5an15an1+1，4an=5an1，即（n2）则数列an是以为首项，以为公比的等比数列故答案为：【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15. 给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面，的四个命题：（1）m?，l=A，点A?m，则l与m不共面；（2）l、m是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；（3）若l?，m?，lm=点A，l，m，则；（4）若l，m，则lm其中真命题是 （
8、填序号）参考答案：（1）、（2）、（3）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题；阅读型【分析】对于（1）可根据异面直线的定义进行判定，对于（2）可根据线面垂直的判定定理进行判定，对于（3）根据面面平行的判定定理进行判定，对于（4）列举出所以可能即可【解答】解：（1）m?，l=A，点A?m，则l与m不共面，根据异面直线定义可知正确；（2）l、m是异面直线，l，m，且nl，nm，则n，根据线面垂直的判定定理可知正确；（3）若l?，m?，lm=点A，l，m，则，根据面面平行的判定定理可知正确；（4）若l，m，则l与m平行、相交、异面，故不正确；故答案为：（1）、（2）、（3）【点评】本
9、题主要考查了空间两直线的位置关系、以及直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题16. 已知极点、极轴分别与直角坐标系的原点和x轴正半轴重合，且极坐标系与直角坐标系单位相同，若曲线C的极坐标方程是，则曲线C的直角坐标普通方程是 参考答案：17. 在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）参考答案：120【考点】二项式系数的性质【分析】根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数【解答】解：（2+x）5的展开式的通项是，所以在（1+x）（2+x）5=（2+x）5+x（2+x）5的展开式中，含x3的
10、项为，所以x3的系数为120故答案为：120三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围参考答案：所以，所以，因此，即的取值范围为19. 已知在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACBC，BC=C1C=1，D是A1C1上的一点，且C1D=kA1C1（） 求证：不论k为何值，ADBC；（） 当k=时，求A点到平面BCD的距离；（） DB与平面ABC所成角的余弦值为，求二面角DABC的正切值参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法【分析】（）由（） 当k=时，
11、D为A1C1的中点证明ADCD，AD面BCD，即可得到AD是点A到平面BCD的距离d（）作DEAC于E，则DBE是DB与平面ABC所成的角，作EFAB于F，则DFAB，即DFE是二面角DABC的平面角，解三角形即可求解【解答】解：（）在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面C1C平面ABC 即（4分）（） 当k=时，D为A1C1的中点此时AD2+CD2=2+2=4=AC2ADCD；由（）平面BC平面ACD平面BCD平面ACD且平面BCD平面ACD=CD，又ADCDAD是点A到平面BCD的距离d，即；（8分）（）作DEAC于E，则DBE是DB与平面ABC所成的角，DE=1，tan作EFAB于
12、F，则DFABDFE是二面角DABC的平面角此时RtAFERtACB，则又tan（12分）【点评】本题考查了空间线线垂直、点面距离、空间角的求解，属于中档题20. 已知函数，.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在1,1上的最大值为1，求实数a的取值集合.参考答案：解：（1）. 当时，在上单调递减； 当时，即在上单调递减； 当时，.时，在上递减；时，在上递增；时，在上递减； 综上，当时，在上单调递减；当时，在上递减；在上递增；上递减. （2）函数在上的最大值为1.即对任意，恒成立。亦即对任意恒成立。变形可得，.当时，即，可得； 当时，.则 令，则.当时，当时，.因此，. 当时，
13、.则令，则.当时，因此，. 综上，的取值集合为. 21. （本题满分16分）已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、（1）当直线过点时，证明为定值；（2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）记，如果直线过点，设线段的中点为，线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由参考答案：解：（1）过点与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设，其中（若时不合题意），由得，4分注：本题可设，以下同（2）当直线的斜率存在时，设，其中（若时不合题意）由得，从而6分假设直线过定点，则，从而，得，即，即
