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1、江苏省南京市实验国际学校高三数学理月考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是A. 3 B. 4 C. 5 D. 6参考答案:C略2. 已知函数的最小正周期为= ( ) A B C1 D2参考答案:D略3. 设,不共线的两个向量,若命题p:0,命题q:夹角是锐角,则命题p是命题q成立的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案:C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可
2、得出【解答】解:,不共线的两个向量,若命题p:0,则0?夹角是锐角,因此命题p是命题q成立的充要条件故选:C4. 已知是第一象限角,sin=,则tan=()A. B. C. D. 参考答案:D【分析】由题意首先求得tan的取值范围,然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系得到关于的方程,解方程即可确定的值.【详解】是第一象限角,sin,2k2k,kZ,kk,kZ,0tan1,sin2sincos,整理得:12tan225tan120,解得tan(舍去)或tan故选D【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用,同角三角函数基本关系等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知ABC中,内角A
3、,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2bc,bc=4,则ABC的面积为( )AB1CD2参考答案:C考点:余弦定理 专题:解三角形分析:由已知及余弦定理可求cosA,从而可求sinA的值,结合已知由三角形面积公式即可得解解答:解:a2=b2+c2bc,由余弦定理可得:cosA=,又0A,可得A=60,sinA=,bc=4,SABC=bcsinA=故选:C点评:本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式的应用,解题时要注意角范围的讨论,属于基本知识的考查6. 直线与圆相交于M,N两点,若,则k的取 值范围是A. B. C. D. 参考答案:B7. 方程在2,4内根的个数为( )A.6个
4、B.7个 C.5个 D.8个参考答案:D由原方程的得:,同一坐标系作出函数图像如图由图象可知,共有8个交点,故选D.8. 已知向量,满足|=1,|=(,1),=1,则与的夹角为()ABCD参考答案:B【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的夹角公式计算即可【解答】解:设与的夹角为,|=1,|=2,cos=,0,=,故选:B9. 如图,点F是抛物线的焦点,点A,B分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且AB始终平行于x轴,则的周长的取值范围是( )A. (2,6)B. (6,8)C. (8,12)D. (10,14)参考答案:C【分析】由抛物线定义可得,从而的周长,确定点横坐标的范围,即可得到
5、结论【详解】抛物线的准线,焦点,由抛物线定义可得,圆的圆心为,半径为4,的周长,由抛物线及圆可得交点的横坐标为2,故选 C.【点睛】本题主要考查抛物线的定义,考查抛物线与圆的位置关系,确定点横坐标的范围是关键,属于中档题.10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(3)的值为( )A.-1 B. -2 C.1 D. 2参考答案:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. A袋中有1个红球2个白球,B袋中有2个红球1个白球,从A袋中任取一个球与B袋中任取一个互换,这样的互换进行了一次. 那么,A袋中至少有一个红球的概率是 参考答案:略13.设公比为q(q0)的等比数列
6、an的前n项和为Sn。若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=_。参考答案:213. 称离心率为的双曲线为黄金双曲线如图是双曲线的图象,给出以下几个说法:双曲线是黄金双曲线;若,则该双曲线是黄金双曲线;若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b)且F1B1A2=90,则该双曲线是黄金双曲线;若MN经过右焦点F2且MNF1F2,MON=90,则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为 参考答案:14. 设Sn为数列an的前n项和,若Sn=5an1,则an=参考答案:【考点】数列递推式【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列【分析】由已知的数列
7、递推式求出首项,再由数列递推式得到数列an是以为首项,以为公比的等比数列则an可求【解答】解:由Sn=5an1,取n=1,得a1=5a11,;当n2时,an=SnSn1=5an15an1+1,4an=5an1,即(n2)则数列an是以为首项,以为公比的等比数列故答案为:【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题15. 给出下列关于互不相同的直线m,n,l和平面,的四个命题:(1)m?,l=A,点A?m,则l与m不共面;(2)l、m是异面直线,l,m,且nl,nm,则n;(3)若l?,m?,lm=点A,l,m,则;(4)若l,m,则lm其中真命题是 (
8、填序号)参考答案:(1)、(2)、(3)【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题;阅读型【分析】对于(1)可根据异面直线的定义进行判定,对于(2)可根据线面垂直的判定定理进行判定,对于(3)根据面面平行的判定定理进行判定,对于(4)列举出所以可能即可【解答】解:(1)m?,l=A,点A?m,则l与m不共面,根据异面直线定义可知正确;(2)l、m是异面直线,l,m,且nl,nm,则n,根据线面垂直的判定定理可知正确;(3)若l?,m?,lm=点A,l,m,则,根据面面平行的判定定理可知正确;(4)若l,m,则l与m平行、相交、异面,故不正确;故答案为:(1)、(2)、(3)【点评】本
9、题主要考查了空间两直线的位置关系、以及直线与平面之间的位置关系,同时考查了推理能力,属于基础题16. 已知极点、极轴分别与直角坐标系的原点和x轴正半轴重合,且极坐标系与直角坐标系单位相同,若曲线C的极坐标方程是,则曲线C的直角坐标普通方程是 参考答案:17. 在(1+x)(2+x)5的展开式中,x3的系数为(用数字作答)参考答案:120【考点】二项式系数的性质【分析】根据(2+x)5的展开式的通项公式,计算在(1+x)(2+x)5的展开式中含x3的项是什么,从而求出x3的系数【解答】解:(2+x)5的展开式的通项是,所以在(1+x)(2+x)5=(2+x)5+x(2+x)5的展开式中,含x3的
10、项为,所以x3的系数为120故答案为:120三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数()的最小正周期为()求的值;()求函数在区间上的取值范围参考答案:所以,所以,因此,即的取值范围为19. 已知在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,ACBC,BC=C1C=1,D是A1C1上的一点,且C1D=kA1C1() 求证:不论k为何值,ADBC;() 当k=时,求A点到平面BCD的距离;() DB与平面ABC所成角的余弦值为,求二面角DABC的正切值参考答案:【考点】点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法【分析】()由() 当k=时,
11、D为A1C1的中点证明ADCD,AD面BCD,即可得到AD是点A到平面BCD的距离d()作DEAC于E,则DBE是DB与平面ABC所成的角,作EFAB于F,则DFAB,即DFE是二面角DABC的平面角,解三角形即可求解【解答】解:()在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面C1C平面ABC 即(4分)() 当k=时,D为A1C1的中点此时AD2+CD2=2+2=4=AC2ADCD;由()平面BC平面ACD平面BCD平面ACD且平面BCD平面ACD=CD,又ADCDAD是点A到平面BCD的距离d,即;(8分)()作DEAC于E,则DBE是DB与平面ABC所成的角,DE=1,tan作EFAB于
12、F,则DFABDFE是二面角DABC的平面角此时RtAFERtACB,则又tan(12分)【点评】本题考查了空间线线垂直、点面距离、空间角的求解,属于中档题20. 已知函数,.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在1,1上的最大值为1,求实数a的取值集合.参考答案:解:(1). 当时,在上单调递减; 当时,即在上单调递减; 当时,.时,在上递减;时,在上递增;时,在上递减; 综上,当时,在上单调递减;当时,在上递减;在上递增;上递减. (2)函数在上的最大值为1.即对任意,恒成立。亦即对任意恒成立。变形可得,.当时,即,可得; 当时,.则 令,则.当时,当时,.因此,. 当时,
13、.则令,则.当时,因此,. 综上,的取值集合为. 21. (本题满分16分)已知抛物线:,直线交此抛物线于不同的两个点、(1)当直线过点时,证明为定值;(2)当时,直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;(3)记,如果直线过点,设线段的中点为,线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点,使得点到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由参考答案:解:(1)过点与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设,其中(若时不合题意),由得,4分注:本题可设,以下同(2)当直线的斜率存在时,设,其中(若时不合题意)由得,从而6分假设直线过定点,则,从而,得,即,即