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1、一模试卷一模试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABCD2已知 为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知平面向量的夹角为，且，则（）ABCD4安徽徽州古城与四川阆中古城山西平遥古城云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线 与直线所成角为（）ABCD5为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲乙丙丁戊 5 名学生代表参加，活动结束后 5 名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻
2、且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（）种A40B24C20D126已知函数，则下列说法正确的是（）A点是曲线的对称中心B点是曲线的对称中心C直线是曲线的对称轴D直线是曲线的对称轴7在三棱锥中，底面，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD8已知，则的大小关系为（）ABCD二、多选题二、多选题9已知函数，则（）A是奇函数B的单调递增区间为和C的最大值为D的极值点为10在平行六面体中，已知，则（）A直线与所成的角为B线段的长度为C直线与所成的角为D直线与平面所成角的正弦值为11已知为坐标原点，点，线段的中点在抛物线上，连接并延长，与交于点，则（）A的准线方程为B点为线段的中点C直线与相切D在点处的
3、切线与直线平行12已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，且为偶函数，则（）AB函数的图象关于直线对称C函数的图象关于直线对称D三、填空题三、填空题13的展开式中，常数项为（用数字作答）.14已知圆，直线（是参数），则直线 被圆截得的弦长的最小值为.15已知直线 与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是.16若过点有 3 条直线与函数的图象相切，则的取值范围是.四、解答题四、解答题17在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）求的值；（2）记的内角的对边分别为.请从
4、下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.若，且，求周长的最大值.若，且，求的面积.18已知在递增数列中，为函数的两个零点，数列是公差为 2的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.19 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过 3.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取 50 天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.（1）某渔船出海作业除受浪高限制外，还
5、受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为 0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为 0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为 0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；（2）气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为 X，求 X 的分布列和数学期望.20如图，四棱锥中，为等腰三角形，.（1）证明：；（2）若
6、，点在线段上，求平面与平面夹角的余弦值.21我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左右顶点.（1）求双曲线的方程；（2）设过点的动直线 交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.22已知函数.（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；（2）当时，证明：.1C2D3C4A5B6C7B8D9A,B10A,C11B,C,D12A,B,C136014151617（1
7、）解：因为是锐角，所以在第一象限，又因为在单位圆上，点的纵坐标为，点的横坐标为，所以，所以，故.（2）解：选：由（1）中结论可得，又，由余弦定理可得，即.，当时，等号成立，即当为等边三角形时，周长最大，最大值为 6.选：由（1）可知，则，由正弦定理，可得，故，则.18（1）解：函数的零点为 3，8，而数列递增，则，因此数列是以 5 为首项，2 为公差的等差数列，则，当时，而也满足上式，所以数列的通项公式是.（2）证明：由（1）得，因此，而，所以.19（1）解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件.该渔船当天出海作业为事件，则由题意可知：，
8、.（2）解：依题意可知，的所有可能取值为，则的分布列为0123数学期望.20（1）证明：取的中点，连接，如图，因为，则，又，即有，而，于是四边形为平行四边形，又，则，又平面，所以平面，又，因此平面，而平面，所以.（2）解：因为，且平面，则平面，又，则平面，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，又，则，又，则，所以，则，设平面的法向量为，则，令，得，又平面的一个法向量为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.21（1）解：由题意可设双曲线，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）解：（i）设，直线的方程为，由，消元得.则，且，；或由韦达定理可得，即，即与的比值为定值.（ii）设直线，代入双曲线方
9、程并整理得，由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.由韦达定理得：，解得.因为点 A 在双曲线的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中结论可知，得，所以，故，设，其图象对称轴为，则在上单调递减，故，故的取值范围为.另解：由于双曲线的渐近线方程为，如图，过点作两渐近线的平行线 与，由于点 A 在双曲线的右支上，所以直线介于直线 与之间（含轴，不含直线 与），所以.同理，过点作两渐近线的平行线与，由于点在双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（不含轴，不含直线与），所以.由（i）中结论可知，得，所以，故.22（1）解：由题意得的定义域为.若在定义域上单调递增，则恒成立，得，即在上恒成立
10、，又，当且仅当时等号成立，；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的不存在.综上所述：在定义域上单调递增，且.（2）证明：方法一：要证成立，只需证，只需证，只需证，只需证，当时，原不等式即证，由（1）知在上单调递增，又，则，原不等式成立.方法二：要证成立，只需证，只需证，只需证，令，则.在上单调递增，原不等式成立.高三下学期数学高三下学期数学二模二模试卷试卷一、单选题一、单选题1设集合，则（）ABCD2已知复数满足，则（）ABCD3已知双曲线 C：，其一条渐近线被圆截得弦长为（）AB1CD24已知随机变量 X 服从正态分布，且，则（）ABCD5设，是两个不同的平面，a，b 是两条
11、不同的直线，下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则6某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，1000 米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的 5 位男生测试项目恰好相同的概率为（）ABCD7已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）ABCD8已知，则（）ABCD二、多选题二、多选题9关于平面向量，下列说法不正确的是（）A若，则BC若，则D10作为世界经济增长的重要引擎，中国经济充满韧性活力，备受世界瞩日当前，新冠疫情延宕反复，全球通胀攀升，美联储激进加息冲击全球，世界经济下行压力明显增大在此背景下，中国经济稳住了自
12、身发展势头，不断向世界经济输送宝贵增长动能，续写世界经济发展史上的中国奇迹中共二十大报告为中国的未来擘画了发展蓝图，让全球经济界人士继续看好中国经济光明前景根据世界银行最新公布的数据，下列说法正确的是（）世界主要国家经济增长率和对世界经济增长的贡献率（单位：%）国家经济增长率对世界经济增长的贡献率2013年2021年2013-2021 年平均增速2013年 2021年2013-2021 年年均贡献率中国7.88.16.635.724.938.6美国1.85.72.016.123.018.6日本2.01.60.44.41.50.9德国0.42.91.00.72.11.8英国1.97.41.42.
13、74.52.1印度6.48.95.45.64.75.8法国0.67.00.90.73.51.1意大利6.60.02.40.0加拿大2.34.61.51.81.51.2韩国3.24.02.62.21.42.0注：根据 2015 年为基期的国内生产总值计算资料来源：世界银行 WDI 数据库A2013-2021 年，我国经济平均增速 6.6%，居世界主要经济体前列B2013-2021 年，我国对世界经济增长的年均贡献率达到 38.6%，超过表中其他国家年均贡献率的总和，是推动世界经济增长的第一动力C2021 年，我国的经济增长率位居世界第一D表中“2021 年世界主要国家经济增长率”这组数据的 75
14、 百分位数是 7.411 已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图像若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（）A函数的图像关于点中心对称B函数在区间上单调递减C不等式的解集为D方程在上有 2 个解12球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠已知该球冠的底半径为，高为假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确的是（）A若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是圆B若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面
15、所成角为，则伞在地面的影子是椭圆C若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为D若太阳光线与地面所成角为，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为三、填空题三、填空题13的展开式中的系数为14已知数列中：，则的前 8 项和为15如图是我国古代测量粮食的容器“升”，其形状是正四棱台，“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”，若该“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，粮食的体积约为“平升”时体积的，则该“升”升口边长与升底边长的比值为16若函数的定义域为，且，则四、解答题四、解答题17正项数列的前 n 项和满足，且（1）
16、求数列的通项公式；（2）设数列满足，为数列的前 n 项和，求18已知的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且（1）求 A 的大小；（2）若，求的面积19如图，正方体的棱长为 1，E，F 是线段上的两个动点（1）若平面，求的长度；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值20 有研究显示，人体内某部位的直径约的结节约有 0.2%的可能性会在 1 年内发展为恶性肿瘤 某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约的结节是否会在 1 年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在 1 年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在 1 年内发展为恶性肿瘤这种检测的准确率为 85%，即一个会在 1 年内发展为恶性肿瘤的患者有 85%的可能性被检出阳性，一个不会在 1 年内发展为恶性肿瘤的患者有 85%的可能性被检出阴性患者甲被检查出体内长了一个直径约的结节，他做了该项无创血液检测（1）求患者甲检查结果为阴性的概率；（2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在 1 年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留 5 位小数）；（3）医院为每位参加该项检查的患者缴纳
