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1、第5章 函数概念与性质5.3 函数的单调性 教学目标1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性；2.理解单调性的作用和实际意义；3.会利用定义证明函数的单调性； 4.理解并掌握函数单调性的简单应用. 教学重难点 教学重点：会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性教学难点：会求一些具体函数的单调区间 课前准备 PPT课件 教学过程一、新课导入德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线如下图：这条曲线告诉我们，学习中
2、的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”通过这条曲线能说明什么数学问题呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的单调性（板书：5.3.1 函数的单调性）设计意图：情境导入，引入新课【探究新知】函数f(x)x，g(x)x2的图象如图，观察其变化规律,回答下列问题。 图1 图2阅读教材第110页结合上述情境回答下列问题：问题1：从图1上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？ 问题2：从图2上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？ 问题3：如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大
3、依次取值时，函数值y的变化情况如何？师生活动：学生分析解题思路，给出答案预设的答案：1.图1中，自变量x增大时，函数f(x)的值也在增大；2.图2中，在y轴左侧，自变量x增大时，函数f(x)的值在减小；在y轴右侧，自变量x增大时，函数f(x)的值也在增大3.如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，对应的当x从小到大依次取值时，函数值y依次增大 设计意图：利用熟悉的函数研究函数的上升与下降趋势问题4：增函数与减函数如何定义？师生活动：学生阅读教材，给出答案预设的答案：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间IA；如果，当x1x2时，都有f(x1)f(x2) 那么称f(x)在区间I上是增函数，I称为y
4、=f(x) 的增区间如果，当x1x2时，都有f(x1)f(x2) 那么称f(x)在区间I上是减函数，I称为y=f(x) 的减区间追问1：函数的单调性定义中的x1，x2有什么特征？预设的答案：(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间追问2：什么叫函数y=f(x)在区间I上具有单调性预设的答案：如果函数f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性增区间或减区间通称为单调区间追问3：函数的单调性应该注意哪些问题？预设的答案：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性
5、质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有设计意图：培养学生分析和归纳的能力【巩固练习】例1. 求证：函数在区间上是单调递增函数师生活动：学生分析解题思路，给出答案预设的答案：设，且，则，又，即在区间上是单调递增函数设计意图：熟悉利用函数的单调性的定义证明函数的单调性例2. 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x)；(2)f(x) (3)f(x)x22|x|3师生活动：学生分析解题思路，给出答案预设的答案：(1)函数f(x
6、)的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数(2)当x1时，f(x)是增函数，当x1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(，1)，1，)，并且函数f(x)在(，1)上是减函数，在1，)上是增函数(3)因为f(x)x22|x|3 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(，1，(1,0)，0,1)，1，)f(x)在(，1，0,1)上是增函数，在(1,0)，1，)上是减函数设计意图：熟悉利用函数的图象求函数的单调区间.例3. （1）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）ABCD（2）已知函数yf(x)在定义域(1，1)上是减函数
7、，且f(1a)f(2a1)，则实数a的取值范围为_师生活动：学生分析解题思路，给出答案预设的答案：（1）函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D（2）由题知解得0a，即所求a的取值范围是反思与感悟：分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的设计意图：掌握利用函数的单调性求参数的范围【课堂小结】1 板书设计：5.3.1 函数的单调性1. 判断或证明函数的单调性 例12. 求函数的单调区间 例23. 函数单调性的应用 例32总结概括：问题：1.如何定义增函数与减函数？2.定义法判断或
8、证明函数的单调性时的步骤是什么？3.如何求函数单调区间？图象法即先画出图象，根据图象求单调区间定义法即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解4.如何由函数单调性求参数范围？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1. 2. 利用定义证明函数单调性的步骤3. 函数单调区间的两种求法图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解4. 由函数单调性求参数范围的处理方法是：(1)由函数解析式求参数若为二次函数判断开口方向与对称轴利用单调性确定参数满足的条件，若为一次函数由一次项系数的正负决定单调性若为复合函数y|f(x)|或yf(|x|)数形结合，探
9、求参数满足的条件(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的单调性的有关知识布置作业：【目标检测】1. 已知函数，若，则、的大小关系为（ ）ABCD设计意图：利用函数的单调性比较函数值的大小2. 定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（ ）ABCD设计意图： 利用函数的单调性求参数的范围3. 已知函数则不等式的解集为（ ）A B CD设计意图：利用函数的单调性求解不等式4. 利用单调性的定义，证明函数y在(1，)上是减函数设计意图：利用函数的单调性的定义证明函数的单调性参考答案：1. 显然在上是增函数，且，当时，所以，又，从而.故选：D2.因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得；当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得，综上可知的取值范围是：，故选：D3. 得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为故选：A4. x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)因为1x1x2，所以x2x10，x110，x210，所以0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以y在(1，)上是减函数
