《2022-2023学年人教版初中数学竞赛精品标准教程及练习《整数解》》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022-2023学年人教版初中数学竞赛精品标准教程及练习《整数解》(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习(54)整数解一、内容提要1. 求方程或不等式的整数解,就是求适合等式或不等式的未知数的整数值,包括判断无整数解.2. 求整数解常用的性质、法则:.数的运.算性质:整数整数整数,整数整数整数,整数整数整数,整数的自然数次幂整数,整数(这个整数的约数)整数.整系数的方程ax2+bx+c=0(a0)只有当b24ac是完全平方数时,才有整数根.有时用韦达定理x1+x2与x1x1 都是整数,来确定整数解,但必须检验(因为它们只是整数解必要条件).运用二元一次方程求整数解(见第10讲). .用列举法.3. 判定方程或不等式没有整数解,常用反证法.即设有整数解之后,
2、把整数按某一模m分类,逐一推出矛盾.二、例题例1.求下列方程的正整数解: xy+x+y=5; x2+y21991.解:先写成关于x的方程,(y+1)x=5y. x=.当y+1取6的约数1,2,3,6时,x的值是整数.10,且x0, y0, 1y+11, x+11. 或解得 ;或.要等式成立,x, y必须是一奇一偶,设x=2a, y=2b1 (a,b都是正整数).左边x2+y2(2a)2+(2b1)2=4(a2+a+b2b)+1. a, b不论取什么整数值,左边的数都是除以4余1,而右边1991是除以4余3.等式永远不能成立. 例题:1某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运,向东为正,向
3、西为负,行车里程(单位:km)依先后次序记录如下:+9、 3、 5、 +4、 8、 +6、 3、6、 4、 +10。(1)将最后一名乘客送到目的地,出租车离鼓楼出发点多远?在鼓楼的什么方向?(2)若每千米的价格为2.4元,司机一个下午的营业额是多少?解答:(1)0km,就在鼓楼; (2)139.2元。2. 同学们都知道,|5(2)|表示5与2之差的绝对值,实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索:(1)求|5(2)|=_。(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是_。(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x3|+|x6|是否有最小值?如果
4、有写出最小值如果没有说明理由。(8分)解答:3或1或5或9。原方程没有正整数解.例2. 一个正整数加上38或129都是完全平方数,求这个正整数. 若把正整数改为整数呢?解:设这个正整数为x,根据题意,得 (a,b 都是正整数).(2)(1):b2a2=91 . (b+a)(ba)=91, 91=191=713 且b+aba. 或 解得,; 或.由方程(1)知 a, 由方程(2)知 b.只有适合. x=a238=1987. 答(略).如果改为整数 ,则两组的解都适合. 另一个解是:x=a238=938=29.例3. 一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,则这个自然数的最小值是多少?
5、解法一:用列举法 与3的和是5的倍数的自然数有:2,7,12,17,22,27,与3的差是6的倍数的自然数有:3,9, 15,22,27, 符合条件的 最小自然数是27.解法二:设所求自然数为x,那么 (a,b都是自然数). x= 5a3=6b+3, a= , a, b都是自然数, b+1是5的倍数, 其最小值是b=4. x=6b+3=27. 例4. m取什么整数值时,方程 mx2+(m22)x(m+2)=0有整数解?解:设方程两个整数根为x1, x2. 那么它们的和、积都是整数.根据韦达定理: x1和 x2都是整数,m是2的约数, 即m=1,2.这只是整数解的必要条件,而不是充分条件,故要代
6、入检验.当m=1时,原方程为x2x3=0, 没有整数解;当m=1 时,原方程为x2x1=0, 没有实数根;当m=2 或m=2 时,方程有整数解. 答:当m=2或 m=2时,方程 mx2+(m22)x(m+2)=0有整数解.例5.已知:n是正整数,且9n2+5n+26的值是两个相邻正整数的积.求:n的值.解:设9n2+5n+26m(m+1), m为正整数.m2+m(9n2+5n)=26. ( 把左边化为积的形式,先配方再分解因式)(m+)2(3n+)2=26+, (m+3n+)( m+3n)=25,去分母并整理得:(3m+9n+4)(3m9n1)=230. 230123021155461023,
7、且3m+9n3m9n.;或;或;或.解方程组,正整数的值只有n=2或n=6.例6.已知:方程x22(m+1)x+m2=0有两个整数根,且12m60.求:m的整数值.解:要使一元二次方程有整数解,必须为完全平方数.2(m+1)24m2=8m+4=4(2m+1).即当2m+1 是完全平方数时,方程有整数解.12m60, 252m+1121,完全平方数.2m+1=36,49,64,81,100. 则2m=35,48,63,80,99. m 的整数值,只有24,40.检验:当m=24 时,有整数解32,18; 当m=40时,有整数解50,32.答:当m=24或 m=40时,方程x22(m+1)x+m2
8、=0有两个整数根.三、练习541. 已知x2y2=1991,则x,y的正整数解是.2. 方程x2+(y+1)2=5的整数解有.3. 已知x1,x2,x3,x2022都是正整数,写出下列方程的一组整数解:x1+x2=x1x2 的一组解为:. x1+x2+x3=x1x2x3 的一组解为:.x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4 的一组解为:.x1+x2+x3+x2022=x1x2x3x2022 的一组解为:.4. 已知100x(x+1) 150,则整数x=_.5. 已知x2002300, 则正整数x=_.6. 如果x,y都是正整数,且0x10,0y9,那么 它们的和、差的范围是:0x+y_, _
9、xy_.7. 已知 且A+B+C+D=100,则x=.8. 已知被除数是100以内的自然数,在和( )填上适当的数,使如下带余除法的运算成立:9. 已知a+2=b2=c2=d2 且a+b+c+d=1989. 则a=_,b=_,c=_,d=_.10. 若a,b,c,d是互不相等的整数,且 abcd=4. 则a+b+c+d=_.11. 求下列方程的整数解: 2x+2y=xy ; 2x+10y=1991.12. m取什么整数值时,下列方程有正整数解? (x1)=4x ; m2x218mx+72=x26x.13. 已知长方形的长和宽都是整数值,且周长与面积的数值相同,求这个长方形的长和宽.14. 方程
10、(xa)(x8)1=0有两个整数根,求a的值.15. 已知a,b是自然数且互质,试问关于x的方程:x2abx+(a+b)=0 是否有自然数解(两解都是自然数)如果有,把它求出来,如果没有请给予证明.16. 两个自然数的和比积小1000,其中一个是完全平方数,求这两个自然数.练习54参考答案:1.x=994,y=993 2.有8个解. 32,2 1,2,31,1,2,4 x1=x2=x3= x1998=1, x1999=2,x2022=20224. 10 11,11,12 5. 1,2 6. 0x+y19 , 9xy10 x+y=1,2,318, xy=8,7,0,1,97. 9 8. 60,14,11,9 9. 440,444,221,884 10. 0 11 6个解12个解 120,2,2,4213.6和3;4和414.815.有自然数1和2(先求出a=1,b=3) 16. 144和8