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1、2022学年第二学期高三年级学业质量调研数 学 试 卷 (时间 120 分钟,满分 150 分) Q2023.04学生注意:1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分2 在试题纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3 可使用符合规定的计算器答题一. 填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6每题4分,第7-12每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1若空间中两条直线a、b确定一个平面,则a、b的位置关系为_2已知复数满足,则_3已知向量和,则在方向上的投影是_4过点,与直线垂直的直线方程为_5已知集合,若,则实数的取值范围为_6已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,圆柱的体积
2、为,则球的表面积为_7已知函数的图像如图所示,则不等式的解集是_8已知函数是定义在上的奇函数,且满足,则_9如图所示,要在两山顶间建一索道,需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米,现选择海平面上一点为观测点,从A点测得点的仰角点的仰角以及,则等于_米. 10已知数列满足,若满足且对任意,都有,则实数的取值范围是_11如图,已知,分别是椭圆的左、右焦点,M,N为椭圆上两点,满足,且,则椭圆C的离心率为_12已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度,若得到的图像仍是函数图像,则可取值的集合为_二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14每题4分,第15-16每题5分)每题有
3、且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13设、是两个不平行的向量,则下列四组向量中,不能组成平面向量的一个基的是( )(A)和(B)和(C)和(D)和14已知n为正整数,则“n是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的( )条件(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充要(D)既不充分也不必要15某产品的广告费(单位:万元)与销售额(单位:万元)的统计数据如下表广告费(万元)2345销售额(万元)26394954根据上表可得回归方程中,据此模型可预测当广告费为6万元时,销售额约为( )(A)636万元(B)655万元(C)677万元(D)720万元16已知数
4、列满足,存在正偶数n使得,且对任意正奇数n有,则实数的取值范围是( )(A)(B)(C)(D)三解答题(本大题共有5题,满分78分),解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分)已知函数的表达式为.(1)求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程;(2)求函数在上的值域.ABCA1B1C1D18. (本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,为侧棱的中点(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值19.(本题满分14分,第1小题2分,第2小题6分,第3小题6分)在全民抗击新冠疫情期间,某校开展了“停课不
5、停学”活动,一个星期后,某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查,得到学生每天学习时间(单位:)的频率分布直方图如下,若被抽取的这100名学生中,每天学习时间不低于8小时有30人(1)求频率分布直方图中实数a,b的值;(2)每天学习时间在的7名学生中,有4名男生,3名女生,现从中抽2人进行电话访谈,已知抽取的学生有男生,求抽取的2人恰好为一男一女的概率;(3)依据所抽取的样本,从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人,再从这8人中选3人进行电话访谈,求抽取的3人中每天学习时间在的人数X的分布和数学期望20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)如图,已
6、知是抛物线上的三个点,且直线分别与抛物线相切,F为抛物线的焦点(1)若点C的横坐标为,用表示线段CF的长;(2)若,求点C的坐标;(3)证明:直线与抛物线相切21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)设是定义域为的函数,当时,记(1)已知在区间I上严格增,且对任意,有,证明:函数在区间I上严格增;(2)已知,且对任意,当时,有,若当时,函数取得极值,求实数a的值;(3)已知,且对任意,当时,有,证明:参考答案一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1平行或相交;2;3;4;5;6; 7;
7、8;9. ;10. ;11;12. .二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.13. ;14. ; 15 ;16. .三解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题8分,第(2)小题6分.解:(1)由已知 则函数的最小正周期为, 令,得,即函数的对称轴方程为; (2)由(1), ,即在上的值域为. 18(本题满分14分)第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.解:(1)因为
8、底面是等腰直角三角形,且,所以, 因为平面,所以,又 所以,平面 (2)以为原点,直线,为,轴,建立空间直角坐标系,则, 由(1),是平面的一个法向量, ,设平面的一个法向量为,则有 即 令,则,所以, 设与的夹角为,则, 所以,所以,二面角的正弦值为 19.(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题2分,第(2)小题6分,第(3)小题6分.解:(1)由,解得 ,解得. (2)从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:,记任选2人有男生为事件,则, 记任选2人有女生为事件,则, 则. (3)用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在6.0,6.5)和的学生中抽取8人,抽中的8人每天学习时间在的人数为
9、人.抽中的8人每天学习时问在的人数为人.设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,则 的分布为: 的数学期望为. 或 20.(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分. 解:(1)因为点C的横坐标为,所以,又的准线,(2)显然直线的斜率都存在,设,过点C的抛物线的切线方程为,由得,令,则k的两个解分别为直线斜率 , (3)设,直线,即由得, 已知直线与抛物线相切,所以 直线与抛物线相切,同理可得 又是方程,即的两根, 所以,即,这表明直线AB与抛物线相切 21.(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分.解:(1)不妨设,在I上严格增,对任意,有, 又,在区间I上严格增 (2)由(1)可知:当在区间I上严格增时,在I上严格增;当在区间I上严格减时,在I上严格减又当时,取得极值,当时,也取得极值 ,可得当时,在左右附近两侧异号,满足条件 (3)当时,由条件知, 当时,对任意,有,即,又的值域为, 当时,对任意,有,又值域为 综上可知,对任意,