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1、第03讲 整式及因式分解（精讲）1. 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义2. 能分析具体问题中简单数量关系，并用代数式表示3. 会求代数式的值，根据特定问题找到所需要的公式，代入具体的值进行计算4. 理解整式的概念5. 掌握合并同类项的法则6. 掌握去括号的法则7. 会进行简单的整式加减运算8. 能进行简单的整式乘法运算9. 能进行简单的整式除法运算10. 能推导乘法公式，了解几何背景，并能进行简单的计算11. 会用提取公因式法、公式法进行因式分解简单； 易错； 中等； 难； 压轴考点1：代数式及其相关概念3考点2：整式的相关概念12考点3：整式的运算18考点4：幂的运算及整
2、式乘除27考点6：整式的化简求值44考点7：因式分解49课堂总结：思维导图58分层训练：课堂知识巩固59考点1：代数式及其相关概念（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值（3）书写要求：此题考查代数式的书写要求：1.在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；2.数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；3.在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写带分数要写成假分数的形式 【例题精析1】 代数式的书写下列代数式符合规范书写
3、要求的是ABCD【分析】根据代数式的书写要求对各选项依次进行判断即可解答【解答】解：、中的带分数要写成假分数，故此选项不符合题意；、中的乘号应该省略不写，故此选项不符合题意；、中的3应写在字母的前面，故此选项不符合题意；、符合书写要求，故此选项符合题意故选：【点评】本题主要考查代数式的书写要求解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写带分数要写成假分数的形式【例题精析2】 代数式的意义代数式的正确解释是A与的倒数的差的立方B与的差的倒数的立方C的立
4、方与的倒数的差D的立方与的差的倒数【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果【解答】解：代数式的正确解释是：的立方与的倒数的差故选：【点评】本题主要考查了代数式，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序【例题精析3】 列代数式某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了，3月份比2月份增加了，则3月份的产值为A万元B万元C万元D万元【分析】根据3月份、2月份与1月份的产值的百分比的关系列式计算即可求解【解答】解：今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了，月份的产值为万元，月份比2月份增加了，月份
5、的产值为万元故选：【点评】本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键【例题精析4】 代数式求值若当时，代数式的值为13；则当时，代数式的值为A0BC1D【分析】把代入代数式得到，把代入代数式，把整体代入求值即可【解答】解：当时，当时，故选：【点评】本题考查了代数式求值，考查了整体思想，把整体代入求值是解题的关键【例题精析5】 代数式-新定义大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方
6、法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是A9B10C11D12【分析】依据题干给定的方法计算即可得出结论【解答】解：验算的步数如下：，由此可知验算的步数为：9故选：【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，数学常识本题是阅读型题目，理解并熟练题干中的方法是解题的关键【对点精练1】 代数式的书写下列代数式书写规范的是ABCD【分析】本题根据代数式的书写规则，数字应在字母前面，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案【解答】解：、正确的书写形式为，故本选项不符
7、合题意；、正确书写形式为，故本选项不符合题意，、正确的书写形式为，故本选项不符合题意；、数字应写在前面，书写正确，故本选项符合题意故选：【点评】本题考查了代数式的书写解题的关键是掌握代数式：用运算符号（指加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式数的一切运算规律也适用于代数式单独的一个数或者一个字母也是代数式，注意代数式的书写格式【对点精练2】 代数式求值当时，代数式的值为4，则当时，的值是ABC4D6【分析】将代入代数式中，得到关于，的式子，再将代入代数式并整理，利用整体代入的方法解答即可得出结论【解答】解：当时，代数式的值为4，当时，故选：【点评】本题主要考查了
8、求代数式的值，将所求式子适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键【对点精练3】 列代数式如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；当时，阴影和阴影的面积和为定值A1个B2个C3个D4个【分析】利用图形求得阴影，的长与宽，利用已知条件对每个结论进行逐一判断即可得出结论【解答】解：小长方形的较短的边长为，阴影的较长边为，较短边为；阴影的较长边为阴影的较长边与小长方形的较长边相等，小长方形的较长边为：小长方形的较短边为：
9、正确；阴影的较短边和阴影的较短边之和为：错误；阴影和阴影的周长和为：，若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值正确；阴影和阴影的面积和为：，当时，当时，阴影和阴影的面积和为定值正确综上，正确的结论有：，故选：【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影，的长与宽是解题的关键【对点精练4】 列代数式做完了一天的功课，立新老师组织学生乘坐小船泛游包河公园，若租用10座的小船艘，则余下8人无座位；若租用16座的小船则可少租用1艘，且最后一艘小船还没坐满，则乘坐最后一艘16座小船的人数是ABCD【分析】根据租用10座的小船艘，则余下8人无座位可得总人数，再利用租用16座的小船则
10、可少租用1艘，且最后一艘小船还没坐满可列所求代数式【解答】解：，即乘坐最后一艘16座小船的人数是故选：【点评】本题考查了列代数式理解题意，根据所给信息找到等量关系，列出正确的代数式是解题的关键【实战经典1】 （2021贺州）如，2，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）若集合，1，我们说已知集合，0，集合，若，则的值是AB0C1D2【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断【解答】解：，或，（舍去）或，故选：【点评】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出，的值【实战经典2】 （2
11、021自贡）已知，则代数式的值是A31BC41D【分析】由已知可得：，将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即可得出结论【解答】解：，原式故选：【点评】本题主要考查了求代数式的值利用整体代入的方法可使运算简便【实战经典3】 （2019永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为A甲B乙C丙D丁【分析】设甲基地的产量为吨，
12、则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，设千米，则、分别为千米、千米、千米、千米，设运输的运费每吨为元千米，设在甲处建总仓库，则运费最少为：；设在乙处建总仓库，则运费最少为：；设在丙处建总仓库，则运费最少为：；设在丁处建总仓库，则运费最少为：；进行比较运费最少的即可【解答】解：甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，设甲基地的产量为吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，各基地之间的距离之比，设千米，则、分别为千米、千米、千米、千米，设运输的运费每吨为元千米，设在甲处建总仓库，则运费最少为：；设在乙处建总仓库，则运费最少为：；设在丙处建总仓库，则运费最少为：；设在丁处建总仓库，则运费最少为：；
13、由以上可得建在甲处最合适，故选：【点评】本题考查了列代数式并比较大小；设出未知数，求出各个运费是解题的关键【实战经典4】 （2020连云港）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是【分析】把代入程序中计算，当其值小于0时将所得结果输出即可【解答】解：把代入程序中得：，把代入程序中得：，最后输出的结果是故答案为：【点评】本题借助程序框图考查了有理数的混合运算，读懂程序框图是解题的关键考点2：整式的相关概念（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多
14、项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项. 【例题精析1】 单项式的概念下列代数式，10，中，单项式有个A3B4C5D6【分析】根据单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式，可得答案【解答】解：下列代数式，10，中，单项式有，10，共有5个，故选：【点评】本题考查了单项式解题的关键是掌握单项式的定义，单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式【例题精析2】 单项式的概念下列说法中正确的是A不是单项式 B的系数是C的系数是，次数是4D的系数为0，次数为2【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得到答案【
