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1、上海中学2022学年高一第二学期期末阶段练习数学试题一、填空题（每空3分，共39分）1. 已知点，向量，则向量_【答案】【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据向量减法的坐标运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，又，所以；故答案为：2. 已知复数，则_【答案】【解析】【分析】求出的共轭复数，代入，由复数的乘法运算化简复数，再由复数的模长公式即可得出答案.【详解】因为，所以，所以，则.故答案为：.3. 若，则在方向上的数量投影是_【答案】【解析】【分析】首先求出、，再根据求出在方向上的数量投影；【详解】解：因为，所以，所以在方向上的数量投影为；故答案为：4. 在正方体中，棱与平面所成角的余弦值
2、为_【答案】【解析】【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案.【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1，则，设平面，则，所以，棱与平面所成角为，所以，则.故答案为：.5. 设为虚数，若，则_【答案】【解析】【分析】依题意可得，代入计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，即，所以，所以；故答案为：6. 在四面体中，若棱与所成角为且，则连接四条棱的中点所得四边形的面积为_【答案】【解析】【分析】空间四边形ABCD中，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，
3、连接EF、FG、GH、HE，则连接各边中点可得平行四边形，利用平行四边形的面积公式可求出结果【详解】如图，空间四边形ABCD中，若棱与所成角为且，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，则EF/GH/AC，且EFGHAC2，EH/GF/BD，且EHGFBD2，HEF60，或HEF120，不妨取HEF60连接各边中点所得四边形的面积是：故答案为：7. 在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是，则第四个复数是_【答案】#【解析】【分析】设第四个复数对应的点为, 利用与复数对应的向量相等即可求得答案.【详解】设正方形的三点对
4、应的复数分别为 设 由题意得, , 即 ，即第四个复数.故答案为:8. 已知均为非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为_【答案】#【解析】【分析】根据向量垂直的条件以及向量的夹角公式计算即可【详解】解：设与的夹角为，非零向量，满足与互相垂直，与互相垂直，又， 故答案为：9. 已知方程的两根满足，则_【答案】或【解析】【分析】按照或进行分类讨论，由此求得的所有可能取值.【详解】已知方程的两根，由韦达定理有：，若即时，所以，解得：.若即时，所以，解得：.综上：或.故答案：或.10. 正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为_【答案】【解析】
5、【分析】根据题意知，到正四面体ABCD四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可【详解】设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点，连结EF、FG、GE，则是三棱锥的中截面，可得平面平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离，、B、C、D到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD中，象这样的三角形截面共有4个正四面体ABCD的棱长为2，可得，是
6、边长为1的正三角形，可得； 取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，、GH分别是、的中位线， ,得四边形EGHI为平行四边形；又且， 且，四边形EGHI为正方形，其边长为，由此可得正方形EGHI面积；的中点I在平面EGHI内，、C两点到平面EGHI的距离相等；同理可得D、C两点到平面EGHI的距离相等，且A、B两点到平面EGHI的距离相等；、B、C、D到平面EGHI的距离相等，平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于故答案为【点睛】本题主要考查了正四面体的性质
7、、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题11. 已知为虚数，且是实数，也是实数，则的值为_【答案】1【解析】【分析】设，根据已知条件可得且，故可求，从而可求.【详解】设，因为为虚数，故，又，因为，故为实数，所以，故，而也为实数，同理可得为实数，故，故，所以，故，若，则，同理若，则，故答案为：1.12. 已知向量与的夹角为，在时取得最小值，当时，的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由向量的运算可得，由二次函数可得，解不等可得的取值范围【详解】由题意可得，所以，由二次函数的性质可知，上式取得最小值时，因为，所以，因为，所以解得，即的取值范围为，故答案为：13. 中，则
8、的最大值是_.【答案】【解析】【详解】由数量积的定义及余弦定理知.类似地，.故已知等式化为.由余弦定理及基本不等式得:,，当且仅当时，上式等号成立.因此，的最大值.二、选择题（每题4分，共16分）14. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中，其中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则且D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由线、面位置关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，若，则或与异面，故A错误；对于B，若，则，由则.故B正确；对于C，若， ，则或，故C错误；对于D，若，则，故D错误.故选：B.15. 若非零不共线的向量满足，则（ ）A. B. C.
9、 D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断【详解】 （2）由非零向量，满足当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得, 所以 为的直角三角形. 易知, 由三角形中大角对大边, 得.故选：C16. 正八边形在生活中是很常见对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，则（）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】在在上取一点，使得，根据C点的位置，从而求得，找到与的关系即可求得参数.【详解】连接，且，在上取一点，使得，则四边形为平行四边
10、形，.设，则，由图可知，故.故选：D.【点睛】方法点睛：利用向量相等及平行四边形法则，将向量的和转化为三角形中的长度关系，从而求得参数值.17. 在等腰三角形中，M为中点，N为中点，D为边上的一个动点，沿翻折至使，点A在面上的投影为点O，当点D在上运动时，以下说法错误的是（ ）A. 线段为定长B. C. 存在D的某个位置使得D. 存在D的某个位置使得【答案】ABD【解析】【分析】依题意作出图形，结合图形及线面垂直的判定定理一一判断即可；【详解】解：如图所示，对于A，为直角三角形，为斜边上的中线，所以为定长，即A正确；对于B，在时，故B正确；对于D，因为、，平面，所以平面，平面，所以，所以当与重
11、合时，满足，故D正确；对于C：当点在点右边时，且，故不满足，当点在点左边时，记二面角的平面角为，则，而，所以，故C错误；故选：ABD三、解答题（本大题共6题，共48分，解答各题必须写出必要的步骤）18. 复数，求实数m的取值范围使得：（1）z为纯虚数；（2）z在复平面上对应的点在第四象限【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据z为纯虚数，列出方程，即可求解；（2）根据z在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；【小问1详解】，若z为纯虚数，则，解得：.【小问2详解】由题意知，解得：.19. 已知正方形所在平面外一点P满足平面，E，F分别是的中点（1）求证：平面；（2）若，求
12、与所成角的大小【答案】（1）证明过程见解析； （2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，构造平行四边形，证明出线面平行；（2）作出辅助线，得到AF与AD所成的角即为与所成角，利用余弦定理求出所成角的余弦值，进而求出所成角的大小.【小问1详解】取PD中点G，连接FG，GA，因为F为PC的中点，所以FGCD，且FG=，因为正方形ABCD中，E为AB的中点，所以AECD，AE=，所以FGAE，且FG=AE，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EFAG，因为平面，平面所以平面【小问2详解】取AC中点M，连接DM，FM，因为平面，平面，所以，因为，所以，设正方形ABCD边长为a，则，因为平面，所以平面，且
13、，由勾股定理得：，同理可得：，因为BCAD，所以AF与AD所成的角即为与所成角，由余弦定理得：，故，故与所成角的大小为20. 已知向量，单位向量与向量的夹角为（1）求向量；（2）若向量与坐标轴不平行，且与向量垂直，令，请将t表示为x的函数，并求的最大值【答案】（1）或 （2），【解析】【分析】（1）设，向量是单位向量，向量与向量夹角为，解方程组，由此求出（2）首先可判断向量，根据向量垂直，得到，即可得到，再由二次函数的性质计算可得【小问1详解】解：设，向量是单位向量，向量与向量夹角为，解方程组，解得或或【小问2详解】解：与坐标轴平行，向量，又向量与向量垂直，即又，即，因为所以，所以，；所以当时，21. 如图，某钢性“钉”由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，钉尖为（1）当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为，要用某种线性材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少厘米？【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1
