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1、上海市敬业中学2021-2022学年高三下开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知球的主视图所表示图像的面积为，则该球的体积是_2. 直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是_3. 设直线经过曲线（为参数，）的中心，且其方向向量，则直线的方程为_4. 甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为，甲不输的概率为，则甲乙和棋的概率为_5. 设、均为非负实数，且满足，则最大值为_6. 已知等差数列的前项和为，若，则_7. 若实数满足条件，则的最小值为_8. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过13的素数
2、中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是_（用分数表示）9. 甲、乙两队进行排球决赛，现在情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队在每局赢的概率都是，则甲队获得冠军的概率为_（结果用数值表示）10. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_11. 在平面直角坐标系中，设点，点的坐标满足，则在上的投影的取值范围是_12. 已知实数满足，则取值范围是_.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13. 满足条件（是虚数单位）的复数在复平面上对应的点的轨迹是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线14. 如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄
3、今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉，后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证，如图为鼎足近似模型的三视图（单位：，经该鼎青铜密度为（单位：，则根据三视图信息可得一个柱足的重量约为（重量体积密度，单位：（ ）A. B. C. D. 15. 已知曲线（是参数），过点作直线与曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条16. 若函数的值域为，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17 已知函数.（1）求的定义域；（2）求函数在
4、区间内的零点.18. 我国古代数学名著九章算术中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵中，如图2，若，当阳马的体积最大时，求二面角的大小.19. 国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验， 喝一瓶
5、啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，该函数近似模型如下：，又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）试计算1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整分钟计算）20. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，（为坐标原点）经平面直角坐标系中伸缩变换得到，记和的面积分别为与，求证：；（3）若的三个顶点都在椭圆上，且椭圆中心恰好是的重心，求的面积.21. 已知数列满足：，其中，.（1）若、成等差数列，求的值；（2）若，求数列的通项；（3）若对任意正整数，都有，求的最大值.
