《【教案】第1课时等差数列的前n项和公式 教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【教案】第1课时等差数列的前n项和公式 教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时教学设计学科：数 学 年级：高一 任课教师：xxx 课时：第1课时 主题等差数列的前n项和公式学习分析课程标准探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。学习内容等差数列的前n项和公式学生情况学生前面已经学习了等差数列的概念、通项公式及性质，能利用其进行解决等差数列通项公式相关的问题。学习目标学习目标11、能推导等差数列的前n项和公式，能说明等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，说明等差数列的前n项和公式的代数特征和几何特征。2、能用等差数列的前n项和公式解决问题评价任务评价任务1能用等差数列的前n项和公式进行“知三求二”评价任务2教师学生设计意图信息技
2、术应用核心素养点学习活动学习活动学习活动情景活动1 重温经典算法，归纳“探”公式问题1：如果图中的石子有100层，那么第1层到第100层一共用了多少粒石子？据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面问题：1+2+3+.+100=?当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却迅速算出了正确答案.（师：这就是我们本节课要研究的主题（板书课题）追问1：高斯采用的是什么算法？数列1，2，3，n，是什么数列？高斯在求和过程中利用了数列的什么性质？高斯求和的实质是什么？追问2：如果图中的石子有101层，那么第1层到第101层一共用了多少粒石子？1+2+3+.+101=?问题2：如果左图中的石子有n
3、层，那么第1层到第n层一共有多少石子？问题3 毕达哥拉斯学派是如何利用直观图形来研究“石子堆”的数量问题的？追问 为什么要“倒置”一个全等梯形？梯形面积公式的推导体现了什么研究策略？能否借助这样的策略研究“石子堆”的数量问题？幻灯片展示情景问题，教师引导学生将问题抽象为1+2+3+.+100， 教师在总结学生解法的基础上介绍高斯算法教师引导学生发现高斯巧算的“秘密”，也就是其求和过程用的就是首尾配对法，即利用性质，通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，实现了“化和为积”教师引导学生学生明确求解的关键是将奇数项的求和问题转化为偶数项的求和问题引导学生仿照问题1的转化思路，从奇偶分析
4、法入手探求：（1）当n为偶数时，直接运用高斯算法求解（2）当n为奇数时，借鉴前面的研究经验，通过不同的配项方式（增项、补项等），得到“化奇为偶”的不同化归方法借助信息技术工具，引导帮助学生引导学生分析，“倒置”是为了补成平行四边形，将不规则或不熟悉的图形转化为规则或熟悉的图形介绍：毕达哥拉斯学派正是利用这种直观的拼图方法，求出了从1开始的连续个正整数之和，即： 学生独立解决问题，并进行全班展示、交流学生将问题转化为计算1+2+3+.+101=?经过合作学习，相互讨论，形成以下两各求解思路：思路1（拿出末项，再首尾配对）原式=(1+2+3+ + 100)+101思路2（拿出中间项，再首尾配对）
5、原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+ + (50+52)+51 思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+ + 100+102)-102 思路4（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+ + 100+101学生将问题转化为计算学生小组合作讨论，分组展示学生回顾初中推导梯形面积公式的方法学生归纳求解方法：平行四边形n行中的每行石子的粒数均为n+1，共有n(n+1)粒石子，所以原图案共胡粒石子重温高斯算法，挖掘它蕴含的等差数列的对称性，提炼出将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”的本质，为推导等差数列的求和公式作准备.如何实现“化奇为偶”是突破高斯算法的关键，同时
6、，这种化归与转化的思想也为接下来解决一般的求和问题提供了研究思路推广前面求1+2+3+.+101的方法，展现分奇偶两种情况求1+2+3+.+n的过程，渗透分类与整合、转化与化归的思想方法，体现首尾配对的局限性和分类讨论的必要性，为引出倒序相加作铺垫。通过再现梯形面积公式的推导过程，借助几何图形的直观性，起到启迪学生思维，唤醒学生重新思考的作用，引发学生类比探求新方法的欲望，为从“倒置”过渡到“倒序”作准备ppt数学抽象情景活动2 探索求和规律，演绎“推”公式问题4 你能说明图中隐含的求和思想和运算方法吗？它对避免分类讨论有何帮助？问题5 倒序相加法妙在何处？这种方法能推广到求公差为的等差数列的
7、前项和吗？公式（1）：公式（2）：教师引导教师总结：我们通过类比得到的这种推导方法就叫做倒序相加法。通过倒序相加法，将复杂的求和问题转化为简单的求和，即把个数的和转化为这个数的平均数的自相加。从中我们还可以发出如下规律：（1）所求的和可以用首项、末项和项数来表示；（2）数列中任意的第项与倒数第项的各都等于首项与末项的和教师引导，倒序相加法的妙处在于：利用上述规律，通过算两次的思想，将个不同数求和转化为个相同数求和在此基础上，进一步引导利用等差数列的对称性得到：与首末两项“等距离”的两项的和都等于首末两项的和，即：，再将转化为个的和，从而运用倒序相加法得到公式（1）：学生探讨先从“形”的角度对式
8、进行直观分析，结合“倒置平移”中所受到的启发，得出其实质就是“算两次”的思想方法，即构造一个全等的楼堂馆所，把不规则图形化为规则图形，实现化简求和的目的；再从“数”的角度对式进行恒等变形，得到，其本质也相当于把加“两次”，即将上述两式相加，可得：学生分析学生通过两种途径导出求和公式的其他形式。途径1、先利用通项公式表示的各项，再化归为利用式求和。途径2：直接将通项公式代入公式（1），化简得到将前n个连续正整数的求和作为基础，通过数形结合探求新的解决方法，体现从特殊到导出“倒序相加法”的过程，符合学生认知实际从特殊到一般，将几何图形中的“倒置”与等差数列中的“倒序相加”对应起来，使得“倒序相加法
9、”的产生过程不突兀，学生对倒序相加法带来的方便会更清晰，理解会更深刻，也更容易接纳。ppt数学抽象直观想象情景活动3 挖掘几何意义，类比“释”公式问题6 根据等差数列前n项和公式的结构特征，你能分别说出它们的几何意义吗？（1）从教科书在“边空”中的提示出发,建立公式与平均数的联系，即“等差数列的前 n 项和等于前n项的平均数的n倍”，并发现“前n项的平均数等于首项与木项的平均数”的几何意义如图所示，即相当于梯形的中位线。（2）从类比梯形的面积出发，建立公式与几何图形之间的联系；公式（1）的几何意义为如图所示的梯形的面积，其中，分别表示该梯形的上底和下底，表示梯形的高；公式（2）的几何意义为如所
10、示的梯形的面积，与公式（1）的差别在于该梯形被分割成两部分（一个三角形和一个平行四边形） 引导学生从两种求和公式的结构特征入手分析，结合从前面探究活动中得到的启发，总结归纳小组合作讨论通过数形结合的方式，明确公式的几何意义，有助于学生深入理解公式，并在理解的基础是记忆公式，而不是机械的记住公式。ppt逻辑推理情景活动4 例题练习，巩固应用例1已知数列是等差数列（1）若，求（2）若，求（3）若，求追问：例题的求解过程有什么共同特点？其中主要运用了什么思想方法？ 例2.已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？引导学生通过分析题目类
11、型，归纳共同特征：对等差数列的五个基本量，已知其中三个量，就可以根据等差数列通项公式与前n项和公式，确定其他两个量（即“知三求二”问题）。这其实是一个通过基本量解方程的过程，其背后蕴含的主要是方程的思想。教师引导学生思考，将已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于和的二元一次方程。解这两个二元一次方程组成的方程组，就可以求得和学生选择公式进行求解，并交流解题方法学生独立完成解题过程，并进行展示交流通过两个公式的联用，帮助学生巩固公式，掌握基本量的确定方法，强化方程的思想本例意在让学生进一步明确，首项和公差是确定一个等差数列的两个基本量，若将等差数列的前n项和视为一个新数列，则
12、已知它的某两项，能求出它的首项和公差，从而确定该等差数列ppt数学运算情境活动5 小结归纳提升，建构“精”公式问题7回顾本节课的学习内容，回答下列问题：（1）推导等差数列的前n项和公式时，用了哪些方法？蕴含了哪些数学思想？（2）等差数列的前n项和公式有几种形式？分别具有什么几何意义？它们与平均数、等差数列的通项公式又有什么关系（3）你能画出本节课的知识结构图吗？教师点拨升华理解学生独立总结通过课堂小结，促使学生形成清晰的知识结构，深入理解等差数列的前n项和公式，提升学生的数学抽象素养。ppt数学抽象情境活动6 课堂目标检测，类比“悟”公式1.在等差数列 中 ,=120， 那么 的值？2.设等差
13、数列=2,=10,则前9项和的值？3.在等差数列=4， =172，求和d?4.在等差数列中，d=2, =11, =35,求和教师巡视课堂、个别辅导、答疑解惑学生独立完成，交流展示检验学生认识对等差数列的前n项和公式的掌握程度数学运算情景活动7 分层作业布置，迁移用“公式”作业1：教材第2223页练习第1,2,3题.教材第2223页练习第4，5题.作业2：课后查阅相关文献资料，探寻等差数列前n项和公式的其他推导方法批改作业，发现问题，及时纠正学生课后完成作业1检测学生认识等差数列的前n项和公式的掌握程度.作业2为下一课时学习做准备，培养学生自学、独立思考的习惯数学运算逻辑推理板书设计多媒体放映演草区学生展示区 等差数列
