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2021-2022学年北京市丰台区高一(上)期末数学试卷
试题数:21,总分:150
1.(单选题,4分)已知函数 fx=2x ,那么f(-1)=( )
A.-2
B.-1
C. −12
D.2
2.(单选题,4分)已知集合A∪B={0,1,2,3,4},B={1,2,4},那么集合A可能是( )
A.{1,2,3}
B.{0,1,4}
C.{0,1,3}
D.{1,3,4}
3.(单选题,4分)已知a,b,c∈R,a>b,那么下列结论成立的是( )
A.a2>b2
B. 1a<1b
C.ac>bc
D.a-c>b-c
4.(单选题,4分)下列函数中,图象关于坐标原点对称的是( )
A. y=x
B.y=x3
C.y=|x|
D.y=2x
5.(单选题,4分)下列函数中,最小正周期为 π2 的是( )
A.y=cosx
B.y=tanx
C.y=cos2x
D.y=tan2x
6.(单选题,4分)已知a>0,那么 2+3a+4a 的最小值是( )
A. 23
B. 43
C. 2+23
D. 2+43
7.(单选题,4分)已知函数 fx=x+a,x≤0x2,x>0 ,那么“a=0”是“函数f(x)是增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(单选题,4分)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学研究表明,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知两次地震的能量与里氏震级分别为Ei与Mi(i=1,2),若M2-M1=2,则 E2E1 =( )
A.103
B.3
C.lg3
D.10-3
9.(单选题,4分)在特定条件下,篮球赛中进攻球员投球后,篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段,防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”,而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言,如果忽略其他因素的影响,篮球处于上升阶段的水平距离越长,则被“盖帽”的可能性越大.
收集几次篮球比赛的数据之后,某球员投篮可以简化为下述数学模型:如图所示,该球员的投篮出手点为P,篮框中心点为Q,他可以选择让篮球在运行途中经过A,B,C,D四个点中的某一点并命中Q,忽略其他因素的影响,那么被“盖帽”的可能性最大的线路是( )
A.P→A→Q
B.P→B→Q
C.P→C→Q
D.P→D→Q
10.(单选题,4分)将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数 gx=sinx+π6 的图象.若x=0是函数F(x)=f(x)-g(x)的一个零点,则φ的最小值是( )
A. π6
B. π3
C. 2π3
D. 5π6
11.(填空题,5分)已知幂函数y=xα的图象经过点(2,8),那么α=___ .
12.(填空题,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于坐标原点对称.若 sinα=14 ,则sinβ=___ .
13.(填空题,5分)已知命题“∀x∈R,ex≥a”是真命题,那么实数a的取值范围是 ___ .
14.(填空题,5分)函数f(x)=cos2x-2cosx+1的最小值是 ___ .
15.(填空题,5分)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.现有两名剪纸艺人创作甲、乙两种作品,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数,i=1,2.给出下列四个结论:
① 该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少;
② 该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少;
③ 该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少;
④ 该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少.
其中所有正确结论的序号是 ___ .
16.(问答题,13分)已知不等式x2+ax+b<0(a,b∈R)的解集A={x|-1<x<2}.
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)若集合B={x|x<0},求A∩B,A∪(∁RB).
17.(问答题,14分)已知 cosα=−35 ,且α是第二象限角.
(Ⅰ)求sinα的值;
(Ⅱ)求 sinα+6πcos−αsinπ2+αtanα−π 的值.
18.(问答题,14分)已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(Ⅲ)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性,并用定义证明.
19.(问答题,14分)一种专门占据内存的计算机病毒,能在短时间内感染大量文件,使每个文件都不同程度地加长,造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机时占据内存2KB,每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为yKB.
(Ⅰ)求y关于x的函数解析式;
(Ⅱ)如果病毒占据内存不超过1GB(1GB=210MB,1MB=210KB)时,计算机能够正常使用,求本次开机计算机能正常使用的时长.
20.(问答题,15分)已知函数 fx=2sin2x−π4 ,x∈R.
(Ⅰ)在用“五点法”作函数f(x)的图象时,列表如下:
2x−π4
π2
π
3π2
2π
x
3π8
5π8
9π8
f(x)
2
在答题卡相应位置完成上述表格,并在坐标系中画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)求函数f(x)在区间 −π4,π4 上的值域.
21.(问答题,15分)已知n为正整数,集合Mn={(x1,x2,⋯,xn)|xi∈{0,1},i=1,2,⋯,n},对于Mn中任意两个元素α=(a1,a2,⋯,an)和β=(b1,b2,⋯,bn),定义:α-β=(|a1-b1|,|a2-b2|,⋯,|an-bn|);d(α,β)=|a1-b1|+|a2-b2|+⋯+|an-bn|.
(Ⅰ)当n=3时,设α=(0,1,0),β=(1,0,0),写出α-β,并计算d(α,β);
(Ⅱ)若集合S满足S⊆M3,且∀α,β∈S,d(α,β)=2,求集合S中元素个数的最大值,写出此时的集合S,并证明你的结论;
(Ⅲ)若∀α,β∈Mn,且d(α,β)=2,任取γ∈Mn,求d(α-γ,β-γ)的值.
2021-2022学年北京市丰台区高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
试题数:21,总分:150
1.(单选题,4分)已知函数 fx=2x ,那么f(-1)=( )
A.-2
B.-1
C. −12
D.2
【正确答案】:A
【解析】:根据题意,由函数的解析式计算可得答案.
【解答】:解:根据题意,函数 fx=2x ,那么f(-1)= 2−1 =-2,
故选:A.
【点评】:本题考查函数解析式的计算,涉及函数值的计算,属于基础题.
2.(单选题,4分)已知集合A∪B={0,1,2,3,4},B={1,2,4},那么集合A可能是( )
A.{1,2,3}
B.{0,1,4}
C.{0,1,3}
D.{1,3,4}
【正确答案】:C
【解析】:根据题意和并集的运算直接写出A即可.
【解答】:解:因为集合A∪B={0,1,2,3,4},B={1,2,4},
所以集合A中必须要有0和3,另外再在1,2,4中加数,也可以不加数,
故选:C.
【点评】:本题考查并集及其运算,属于基础题.
3.(单选题,4分)已知a,b,c∈R,a>b,那么下列结论成立的是( )
A.a2>b2
B. 1a<1b
C.ac>bc
D.a-c>b-c
【正确答案】:D
【解析】:直接利用不等式的性质和赋值法的应用求出结果.
【解答】:解:对于A:当a=-1,b=-2时,不满足a2>b2,故A错误;
对于B:当a=0,b=-1时, 1a 无意义,故B错误;
对于C:当c=0时,所以ac=bc,故C错误;
对于D:利用不等式的性质,所以a-c>b-c,故D正确.
故选:D.
【点评】:本题考查的知识要点:不等式的性质,赋值法,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
4.(单选题,4分)下列函数中,图象关于坐标原点对称的是( )
A. y=x
B.y=x3
C.y=|x|
D.y=2x
【正确答案】:B
【解析】:由题意只要检验各选项中函数的奇偶性即可判断.
【解答】:解:A:函数定义域(0,+∞)为非奇非偶函数,不符合题意;
B:y=x3为奇函数,图象关于原点对称,符合题意;
C:y=|x|为偶函数,图象关于y轴对称,不符合题意;
D:y=2x为非奇非偶函数,图象关于原点不对称,不符合题意.
故选:B.
【点评】:本题主要考查了函数奇偶性的判断及奇函数性质的应用,属于基础题.
5.(单选题,4分)下列函数中,最小正周期为 π2 的是( )
A.y=cosx
B.y=tanx
C.y=cos2x
D.y=tan2x
【正确答案】:D
【解析】:由题意利用三角函数的周期性,得出结论.
【解答】:解:由于y=cosx的最小正周期为2π,故排除A;
由于y=tanx的最小正周期为π,故排除B;
由于y=cos2x的最小正周期为π,故排除C;
由于y=tan2x的最小正周期为 π2 ,故D满足条件,
故选:D.
【点评】:本题主要考查三角函数的周期性,属于基础题.
6.(单选题,4分)已知a>0,那么 2+3a+4a 的最小值是( )
A. 23
B. 43
C. 2+23
D. 2+43
【正确答案】:D
【解析】:由题中的条件,利用基本不等式即可解出.
【解答】:解:∵a>0,
∴2+3a+ 4a ≥2+2 3a×4a =2+4 3 ,
当且仅当3a= 4a 时,取等号.
故选:D.
【点评】:本题考查了不等式的运算,基本不等式,学生的数学运算能力,属于基础题.
7.(单选题,4分)已知函数 fx=x+a,x≤0x2,x>0 ,那么“a=0”是“函数f(x)是增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】:A
【解析】:根据充分必要条件的定义进行判断即可.
【解答】:解:当a=0时,f(x)= x,x≤0x2,x>0 ,此时f(x)为单调增函数,故“a=0”⇒“函数f(x)是增函数”;
若f(x)为增函数,则有a≤0,故由“函数f(x)是增函数”不能推出“a=0”,
所以“a=0”是“函数f(x)是增函数”的充分不必要条件,
故选:A.
【点评】:本题考查了分段函数的单调性,充分必要条件的判定,属于基础题.
8.(单选题,4分)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学研究表明,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知两次地震的能量与里氏震级分别为Ei与Mi(i=1,2),若M2-M1=2,则 E2E1 =( )
A.103
B.3
C.lg3
D.10-3
【正确答案】:A
【解析】:利用对数运算法则和指数与对数互化求解.
【解答】:解:由题意得:lgE1=4.8+
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