湖北省荆州市石首南岳高级中学高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 根据表格中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
l
2
3
4
5
A．(-l，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
参考答案：
C
2. 为求使不等式1+2+3+…+n＜60成立的最大正整数n，设计了如图所示的算法，则图中“”处应填入（ ）
A．i+2 B．i+1 C．i D．i﹣1
参考答案：
D
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．
【分析】先假设最大正整数i使1+2+3+…+i＜60成立，然后利用伪代码进行推理出最后i的值，从而得到我们需要输出的结果．
【解答】解：假设最大正整数i使1+2+3+…+i＜60成立，
此时满足S＜60，则语句i=i+1，S=S+i，继续运行，
此时i=i+1，属于图中输出语句空白处应填入i﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了当型循环语句，以及伪代码，算法在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题，属于基础题．
3. 已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相较于两点，连接，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【分析】
求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；
由能推出。
故“”是“”的必要不充分条件。
故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
5. 已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为 （ ）
A.2 B.1 C. D.4
参考答案：
A
略
6. 已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是
A (1, +∞) B C D
参考答案：
D
7. 设离心率为的双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是
A． B． C． D
参考答案：
C
略
8. 展开式中的常数项是 （ ）
A －36 B 36 C －84 D 84
参考答案：
C
9. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D 解析：点到椭圆的两个焦点的距离之和为
10. 直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关
参考答案：
B 解析：
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 有10名学生和2名老师共12人,从这12人选出3人参加一项实践活动则恰有1名老师被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
先求出从12人中选3人的方法数，再计算3人中有1人是老师的方法数，最后根据概率公式计算．
【详解】从12人中选3人的方法数为，3人中愉有1名老师的方法为，
∴所求概率为．
故选A．
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出完成事件的方法数．
12. 代数式（1﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为_____．
参考答案：
0
【分析】
根据二项式定理写出（1+x）5的展开式，即可得到x3的系数.
【详解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（?x?x2?x3?x4?x5），
∴（1﹣x）（1+x）5 展开式中x3的系数为
110．
故答案为：0．
【点睛】此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数.
13. 函数y=x3﹣x2﹣x的单调递减区间为 ．
参考答案：
（，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求出函数的导数，通过解导函数小于0，从而求出函数的递减区间．
【解答】解：y′=3x2﹣2x﹣1，
令y′＜0，解得：﹣＜x＜1，
故答案为：（﹣，1）．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
14. 已知函数（为常数）. 若在区间上是增函数，则的取值范围是 .
参考答案：
15. 在平面直角坐标系中, 二元一次方程 (不同时为)表示过原点的直线. 类似地: 在空间直角坐标系中, 三元一次方程 (不同时为)表示 .
参考答案：
过原点的平面；
略
16. 在极坐标中曲线与的两交点之间的距离为 .
参考答案：
2
略
17. 函数的最小值为__________．
参考答案：
3
【分析】
对函数求导，然后判断单调性，再求出最小值即可．
【详解】∵，∴（），
令，解得，令，解得
即原函数在递减，在递增，
故时取得最小值3，故答案3.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，正确求导是解题的关键，属于基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=+ax，x＞1．
（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；
（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．
（Ⅱ）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．
（Ⅲ）化简方程（2x﹣m）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（Ⅱ）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，x＞1．
，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣（1分）
∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴时函数t=的最小值为，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ） 当a=2时， ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，
解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0
∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（Ⅲ）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得
整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
由（Ⅱ）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，
实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数 极值的求法，函数的零点的应用，考查分析问题解决问题的能力．
19. （12分）（2013春?福建期末）已知a，b，x，y∈R，证明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，并利用上述结论求（m2+4n2）（+）的最小值（其中m，n∈R且m≠0，n≠0）．
参考答案：
【分析】把 b2x2+a2y2≥2abxy 的两边同时加上a2x2+b2y2，即可得到（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立．
【解答】证明：∵b2x2+a2y2≥2abxy，
∴a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy，
即（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立．
由不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立，
知（m2+4n2）（+）
当且仅当m2=n2时，等号成立，
即（m2+4n2）（+）的最小值为25．
【点评】本题主要考查用综合法证明不等式，属于中档题．
20. 设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足.
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
参考答案：
解：（1）当a＝1时，由x2－4x＋3<0，得：1
0），∴a3，设B＝（－∞，2]∪（3，＋∞），
由p是q的充分不必要条件，得：AB，∴，∴1
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