山东省德州市乐陵第一中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

山东省德州市乐陵第一中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在中，角A，B，C所对边分别为，且，面积，则等于(     )   A.     B.5        C.         D.25 参考答案： B 略 2. 设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，则a的取值范围是（    ） A．                  B． C．               D． 参考答案： A 3. 若为两条异面直线，为其公垂线，直线，则与两直线的交点个数为（  ）    A．0个                  B．1个                 C．最多1个                D．最多2个 参考答案： D 略 4. 若﹁p∨q是假命题，则 A. p∧q是假命题 B. p∨q是假命题 C. p是假命题 D. ﹁q是假命题 参考答案： A 略 5. 已知函数f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： B 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】将问题转化为k＜在x＞1上恒成立，令h（x）=，求出最小值即可． 【解答】解：由k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立， 得：k＜，（x＞1）， 令h（x）=，（x＞1），则h′（x）=， 令g（x）=x﹣lnx﹣2=0，得：x﹣2=lnx， 画出函数y=x﹣2，y=lnx的图象，如图示： ∴g（x）存在唯一的零点， 又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0， ∴零点属于（3，4）； ∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增， 而3＜h（3）=＜4，＜h（4）=＜4， ∴h（x0）＜4，k∈Z， ∴k的最大值是3． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了函数恒成立问题，是一道中档题． 6. 是直线和直线垂直的（   ） A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件   C．充分必要条件                   D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 7. 执行如图程序，输出的结果为（    ） A．          B．           C．           D． 参考答案： B 8. 设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是（　　） A． 50， 　　B． 60， 　　　C．50， 　　D． 60， 参考答案： B 略 9. 若将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（    ） A.     B.     C.     D. 参考答案： B 函数的图象向左平移个单位，得到 图象关于轴对称，即，解得，又，当时， 的最小值为，故选B.    10. 已知i是虚数单位，则复数的虚部等于       （    ） A.              B.                C.             D. 1 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二面角为，A,B是棱上的两点，AC,BD分别在半平面内，　且，则的长为             参考答案： 答案：   12. 双曲线的离心率为　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据事务性的方程可得a，b，c的数值，进而求出双曲线的离心率． 【解答】解：因为双曲线的方程为， 所以a2=4，a=2，b2=5， 所以c2=9，c=3， 所以离心率e=． 故答案为． 13. 在平面四边形中，已知，则的值为        ． 参考答案： 10 14. 在中，D为边BC上一点，BD=DC,=120°，AD=2，若的面积为，则= 参考答案： 15. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2013)＝__________． 参考答案： 3 略 16. 如图，A，B是圆O上的两点，且为OA的中点，连接BC并延长BC交圆O于点D，则CD=______________。 参考答案： 略 17. 已知函数的单调递减区间为(－∞,1)，则实数a的值为 . 参考答案： －2 由题意，，则。   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 如图4，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点， ，沿将△翻折到△，连接，得到如图5的五棱锥 ，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值. 参考答案： （1）证明见解析；（2）. 试题分析：（1）由，，可证平面，进而可证平面；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可算出二面角的平面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，即可得二面角的平面角的正弦值. 试题解析：（1）证明：∵点，分别是边，的中点， ∴∥.                                …………………………1分 ∵菱形的对角线互相垂直， ∴. ∴. ∴，.                    …………………………2分 ∵平面，平面，， ∴平面.                          …………………………3分 ∴平面.                          …………………………4分 （2）解法1：设，连接， ∵， ∴△为等边三角形. ∴，，，. ……5分 在R t△中，， 在△中，， ∴.                                  …………………………6分 ∵，，平面，平面， ∴平面.                           …………………………7分 过作，垂足为，连接， 由（1）知平面，且平面， ∴. ∵，平面，平面， ∴平面.                            …………………………8分 ∵平面， ∴.                                  …………………………9分 ∴为二面角的平面角.         …………………………10分 在Rt△中，， 在Rt△和Rt△中，， ∴Rt△～Rt△.                      …………………………11分 ∴. ∴.          …………………………12分 在Rt△中， . ……………………13分 ∴二面角的正切值为.           …………………………14分 解法2：设，连接， ∵， ∴△为等边三角形. ∴，，，.………………………5分 在R t△中，， 在△中，， ∴.                                  …………………………6分 ∵，，平面，平面， ∴平面.                           …………………………7分 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，.…………8分 ∴，. 设平面的法向量为， 由，，得 ……9分 令，得，. ∴平面的一个法向量为.     …………………………10分 由（1）知平面的一个法向量为， ……………………11分 设二面角的平面角为， 则.………………………12分 ∴，.………………………13分 ∴二面角的正切值为.           …………………………14分 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间向量及坐标运算；4、同角三角函数的基本关系. 19. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知数列、满足：，，． （1）求，，，； （2）求证：数列是等差数列，并求的通项公式； （3）设，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： （1）由已知，，  因为，所以，，，，． …………（4分）（每个1分） （2），，   ……………………（2分） 所以，， 所以，数列是以为首项，为公差的等差数列．  ……………………（4分） 所以，，（）．      ………………………………（6分） （3）因为，从而，    ………………………………（1分） 所以， ，                       …………………………………（2分） 解法一： 所以，不等式化为， 即当时恒成立，   …………………………………………（4分） 令， 则随着的增大而减小，且恒成立．   ………………………………（7分） 故，所以，实数的取值范围是．     …………………………………（8分）   解法二： ， 若不等式对任意恒成立，则当且仅当对任意恒成立．                                   ………………………………（4分） 设，由题意，， 当时，恒成立；              …………………………（5分） 当时，函数图像的对称轴为， 在上单调递减，即在上单调递减，故只需即可， 由，得，所以当时，对恒成立． 综上，实数的取值范围是．                  …………………………（8分） 20. 如图，四棱柱的底面为菱形，且. （1）证明：四边形为矩形； （2）若，平面，求四棱柱的体积. 参考答案： （1）证明: 连接，设，连接. ∵，∴. 又为的中点，∴. ∴平面，∴. ∵，∴. 又四边形是平行四边形，则四边形为矩形. （2）解：由，可得，∴. 由平面，可得平面平面，且交线为. 过点作，垂足为点，则平面. 因为平面,∴，即. 在中，可得. 所以四棱柱的体积为. 21. 几何证明选讲 如图，Δ是内接于圆，,直线切于点，弦，与相交于点． （Ⅰ）求证：≌； （Ⅱ）若求． 参考答案： 证明： （Ⅰ）∵MN是切线，且∥ ∴，即 ∴ ∵ ∴≌    -----------------------5分 （Ⅱ）在和中， ∵，是公共角,∴∽  ------------------7分 ∴,即 ∵,  ∴ ∴          ------------------------------10分   略 22. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点． （1）求证：AE∥平面PCD； （2）记平面PAB与平面PCD的交线为l，求二面角C﹣l﹣B的余弦值． 参考答案： 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定． 【分析】（1）推导出四边形ADCE是平行四边形，从而AE∥CD，由此能证明AE∥平面PCD． （2）连结DE、BD，设AE∩BD于O，连结PO，推导出AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，从而PO⊥平面ABCD，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣l﹣B的余弦值． 【解答】证明：（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E是BC的中点， ∴AD∥CE，且AD=CE， ∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD， ∵A