湖北省武汉市建新中学高一数学文测试题含解析

湖北省武汉市建新中学高一数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数定义域是，则的定义域是（） A. B. C. D. 以上都不对 参考答案： B 【分析】 利用可求得的范围，即为所求的定义域. 【详解】定义域为    的定义域为 本题正确选项： 【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解问题，关键是能够采用整体代换的方式来进行求解. 2. 若α，β为锐角，cos（α+β）=，cos（2α+β）=，则cosα的值为（　　） A． B． C．或 D．以上都不对 参考答案： A 【考点】GP：两角和与差的余弦函数． 【分析】根据同角三角函数基本关系分别求得sin（α+β）和sin（2α+β）的值，进而根据余弦的两角和公式求得答案． 【解答】解：∵α，β为锐角，cos（α+β）=＞0， ∴0＜α+β＜， ∴0＜2α+β＜π， ∴sin（α+β）==，sin（2α+β）==， ∴cosα=cos（2α+β﹣α﹣β）=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）=×+×=． 故选：A． 3. 对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A. (－∞,－2)         B. [－2,+∞)         C. [－2,2]       D. [0,+∞) 参考答案： B 4. 为了得到函数y=4cos2x的图象，只需将函数y=4cos(2x+)的图象上每一个点（　　） A．横坐标向左平动个单位长度 B．横坐标向右平移个单位长度 C．横坐标向左平移个单位长度 D．横坐标向右平移个单位长度 参考答案： D 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：将函数的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度， 可得y=4cos[2（x﹣）+]=4cos2x的图象， 故选：D． 5. 的定义域为                      （   ）                                                                             A．         B.          C.           D. 参考答案： C 6. 下列各命题正确的是（  ） A.终边相同的角一定相等．      B.第一象限角都是锐角． C.锐角都是第一象限角．         D.小于90度的角都是锐角． 参考答案： C 7. 不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为（　　） A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|x＞3} 参考答案： C 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣3）＜0，求解即可． 【解答】解：不等式x2﹣x﹣6＜0化为 （x+2）（x﹣3）＜0， 解得﹣2＜x＜3； ∴不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为 {x|﹣2＜x＜3}． 故选：C． 8. 已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（　　） A．0或1 B．1或 C．0或 D． 参考答案： C 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系． 【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值． 【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的． 当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由≠，解得：a=． 综上，a=0或， 故选：C． 9. 向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为（    ） A          B            C            D 参考答案： B 10. 已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】球内接多面体． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案． 【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形， 于是对角线O1O2=OE==， ∵圆O1的半径为4，∴O1E===2 ∴O2E═=3 ∴圆O2的半径为 故选D． 【点评】本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，是对基础知识的考查．解决本题的关键在于得到OO1EO2为矩形． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 方程lgx=4﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=　　． 参考答案： 3 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用． 【分析】设函数f（x）=lgx+x﹣4，判断解的区间，即可得到结论． 【解答】解：设函数f（x）=lgx+x﹣4，则函数f（x）单调递增， ∵f（4）=lg4+4﹣4=lg4＞0，f（3）=lg3+3﹣4=lg3﹣1＜0， ∴f（3）f（4）＜0， 在区间（3，4）内函数f（x）存在零点， ∵方程lgx=4﹣x的解在区间（k，k+1）（k∈Z）， ∴k=3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查方程根的存在性，根据方程构造函数，利用函数零点的条件判断，零点所在的区间是解决本题的关键． 12. 在边长为1的菱形ABCD中（如右图），|EA|=3|ED|,|AF|=|FB|,|BC|=3|BG|,=m，则=            ； 参考答案： 13. 定义在实数集上的偶函数在上是单调增函数，则不等式的解集是_____________． 参考答案： 14. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在的直线的方程为___________. 参考答案： ； 【分析】 利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦． 【详解】圆标准方程，圆心为，， ∵是中点，∴，即， ∴的方程为，即． 故答案为． 【点睛】本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长（其中为圆心到弦所在直线的距离）． 15. 关于的方程恰有个不同的实根,则的取值范围是________. 参考答案： 16. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an=_____． 参考答案： 【分析】 由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】根据图形， 因为都是直角三角形， , 是以1为首项，以1为公差的等差数列， ， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题. 17. 在等差数列{an}中，，则（  ） A. 3 B. 9 C. 2 D. 4 参考答案： A 【分析】 根据等差数列的性质得到 【详解】等差数列中，,根据等差数列的运算性质得到 故答案为：A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=是定义域在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论； （Ⅲ）若f（2t﹣2）+f（t）＜0，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数的值． 【分析】（Ⅰ）利用函数为奇函数，可得b=0，利用f（）=，可得a=1，从而可得函数f（x）的解析式； （Ⅱ）利用导数的正负，可得函数的单调性； （Ⅲ）利用函数单调增，函数为奇函数，可得具体不等式，从而可解不等式． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知f（﹣x）=﹣f（x） ∴=﹣ ∴﹣ax+b=﹣ax﹣b，∴b=0 ∵f（）=，∴a=1 ∴； （Ⅱ）当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增，证明如下： ∵f（x）=，x∈（﹣1，1） ∴f′（x）＞0，∴当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增； （Ⅲ）∵f（2t﹣2）+f（t）＜0，且f（x）为奇函数 ∴f（2t﹣2）＜f（﹣t） ∵当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增， ∴ ∴＜t＜， ∴不等式的解集为（，） 19. （10分）已知函数f（x）=（a2﹣a+1）xa+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x． （1）求实数a的值及函数g（x）的零点； （2）是否存在自然数n，使g（n）=900？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）根据幂函数的定义，和奇函数的定义先求出a的值，再根据零点求法，零点转化为g（x）=0的实数根，解方程即可 （2）根据函数为增函数，然后验证f（9）=738，f（10）=1010，即可得出． 解答： （1）令a2﹣a+1=1，解得 a=0或a=1．…（1分） 当a=0时，f（x）=x2，它不是奇函数，不符合题意； 当a=1时，f（x）=x3，它是奇函数，符合题意． 所以a=1．  …（3分） 此时g（x）=x3+x． 令g（x）=0，即 x3+x=0，解得 x=0． 所以函数g（x）的零点是x=0．…（5分） （2）设函数y=x3，y=x．因为它们都是增函数，所以g（x）是增函数．…（7分） 又因为 g（9）=738，g（10）=1010．    …（9分） 由函数的单调性，可知不存在自然数n，使g（n）=900成立． …（10分） 点评： 本题主要考查函数的零点与方程的实数根的联系，以及函数的单调性与函数值问题． 20. （14分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2x． （1）试求函数f（x）的解析式； （2）试求函数f（x）在x∈[0，3]上的值域．ks5u 参考答案： （1）令x＜0，则﹣x＞0， ∵x＞0时，f（x）=x2﹣2x， ∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x， 又f（x）为定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x2﹣2x． 当x=0时，f（x）=x2﹣2x=0， ∴f（x）=．.............7分 （2）x∈[0，3]时，f（x）=x2﹣2x， ∵对称轴方程为x=1，抛物线开口向上， ∴f（x）=x2﹣2x在[0，3]上的最小值和最大值分别为： f（x）min=f（1）=1﹣2=﹣1，f（x）max=f（3）=9﹣6=3．∴函数f（x）在x∈[0，3]上的值域为[﹣1，3].......14分 21. 求log927的值. 参考答案： 设log927=x,根据对数的定义有9x=27,即32x=33,∴2x=3,x=,即log927=. 22. 在平面四边形ABCD中，，，，． （1）求AC的长； （2）若，求的面积． 参考答案：