浙江省温州市巽宅中学高三数学理上学期期末试卷含解析

浙江省温州市巽宅中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知实数满足，则的最大值为(  ▲  ) A． B． C． D．3 参考答案： D 2. 已知集合A={1,2,3,4}，B={5,6}，设映射f：A→B使集合B中的元素在A中都有原象，这样的映射个数共有（    ） A．16 B．14 C．15 D．12 参考答案： B 略 3. 已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（　　） A． B．5 C．7 D． 参考答案： D 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线焦点的位置可得，解可得a的范围，又由其焦距为4，即c=2，由双曲线的几何性质可得c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a的值． 【解答】解：根据题意，双曲线+=1，焦点在y轴上， 则有，解可得a＜2， 又由其焦距为4，即c=2， 则有c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4， 解可得a=； 故选：D． 4. 设函数f（x）=，若f[f（）]=4，则b=（　　） A．1 B．﹣ C．﹣或1 D．﹣1 参考答案： D 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】直接利用分段函数，通过解方程求解函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=，若f[f（）]=4， f（1﹣b）=4． 当1﹣b＜1即b＞0时，3（1﹣b）﹣b=4，解得b=﹣，（舍去）； 当b≤0时，21﹣b=4，解得b=﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查计算能力． 5. 函数在[－2,2]上的图象大致为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据函数的特点，结合选项的图象特征，利用特殊值进行验证排除确定. 【详解】因，排除B，D. 又因为，排除C. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析，特殊法应用的能力，属于中档题. 6. 已知R上的单调函数满足，则实数a的取值范围是（   ） A. B. (0,1) C. D. 参考答案： C 【分析】 根据可求得，可知在时单调递减，从而得到在上单调递减；根据对数函数单调性和临界点的大小关系可得到不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】        当时，单调递减 为上的单调函数    ，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，关键是明确分段函数在上单调需保证在每一段上单调，且在临界点位置大小关系满足单调性，属于常考题型. 7. 已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（  ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 参考答案： D 【分析】 由空间线面、面面平行的性质和判定逐一判断各选项即可. 【详解】A, 若，,则或，故A不正确. B, 若，，，则或与相交，故B不正确. C，若，，则或，故C不正确. D,如图，由可得，易证，故D正确. 【点睛】本题考查空间线面的位置关系.使用空间线面、面面平行(垂直)的判定定理和性质定理时，一定要保证条件完整才能推出结论. 8. 已知函数，且在上是增函数，则实数的取值范围是  (    ) A．    B．     C．    D． 参考答案： D 9. 已知集合，集合，则 （A）  （B）   （C）    （D） 参考答案： A 10. 下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是 （A）          （C） （B）     （D） 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知曲线                 参考答案： -6 12. 已知为等差数列，为其前项和.若，，则        ；=        . 参考答案： 1， ，所以，。 13. 已知向量，，若向量与垂直，则m=          ． 参考答案： 1 14. 的二项展开式中含的项是　　        　　　（的系数用数值表示）． 参考答案： 15. 若函数f（x）=x2+ax﹣1是偶函数，则a=           ． 参考答案： 0 考点：函数奇偶性的性质． 专题：计算题． 分析：由偶函数的定义f（﹣x）=f（x）即可求得a的值． 解答： 解：∵f（x）=x2+ax﹣1是偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）． 即（﹣x）2﹣ax﹣1=x2+ax﹣1， ∴2ax=0，又x不恒为0， ∴a=0． 故答案为：0． 点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用偶函数的定义求得2ax=0是关键，属于基础题． 16. 已知平面向量满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为         ． 参考答案： 17. 已知 ，通过类比可推测m,n的值，则的值为 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=． （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l的参数方程为（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2sin2θ=ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程，并得到曲线C是以x轴为对称轴，开口向右的抛物线． （2）直线l的参数方程消去参数t，得直线l的直角坐标方程为，代入y2=x，得：2y2﹣2y﹣3=0，由此利用弦长公式能求出|AB|． 【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=， ∴ρ2sin2θ=ρcosθ， ∴曲线C的直角坐标方程为y2=x， ∴曲线C是以x轴为对称轴，开口向右的抛物线． （2）∵直线l的参数方程（t为参数）， ∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为， 代入y2=x，整理，得：2y2﹣2y﹣3=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣， ∴|AB|==． 19. 今有4种股票和3种基金，李先生欲购买其中的任意3种产品. （1）求李先生所购买的3种产品中恰好只含一种基金的概率； （2）记购买的3种产品中，包含基金的种数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. 参考答案： 解：（1）设事件A表示“李先生所购买的3种产品中，恰好只含一种基金” …1分 …………3分 答：李先生所购买的3种产品中恰好只含一种基金的概率为…………4分Ks5u （2）…………5分 …………9分 …………12分 20. （本小题14分）记函数的定义域为，  的定义域为．若，求实数的取值范围． 参考答案： 解析： ------------------------------------------------------5分 要使，则 -------------------------------------------10分 则或------------------------------------------------------------14分 21. 在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b）且⊥． （1）若b=，a+c=4，求△ABC的面积． （2）y=sin2A+sin2C的取值范围． 参考答案： 【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理． 【分析】（1）根据向量垂直的坐标公式进行化简求出B的大小，结合三角形的面积公式进行求解即可． （2）利用三角函数的倍角公式结合两角和差的正弦公式，以及三角函数的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）∵⊥， ∴?=cosB（2a+c）+bcosC=0， 即2acosB+ccosB+bcosC=0， 由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0， 即2sinAcosB+sin（B+C）=0， 即2sinAcosB+sinA=0， ∴2cosB+1=0，则cosB=﹣， 则B=， 若b=，a+c=4， 则b2=a2+c2﹣2accosB， 即13=（a+c）2﹣2ac+ac=16﹣ac， 则ac=3， 则△ABC的面积S=acsinB==． （2）∵B=，∴A+C=，A=﹣C， 则0＜C＜， sin2A+sin2C=+ =1﹣×2cos（A+C）cos（A﹣C） =1﹣cos（A﹣C） =1﹣cos（﹣2C）， ∵0＜C＜， ∴0＜2C＜， 则﹣＜﹣2C＜0，﹣＜﹣2C＜， 则＜cos（﹣2C）≤1， 即＜cos（﹣2C）≤， 则﹣≤﹣cos（﹣2C）＜， 则≤1﹣cos（﹣2C）＜ ∴sin2A+sin2C的取值范围是[，）． 【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22. 如图，过抛物线 （为常数＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB。 ⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标； ⑵求弦AB中点M的轨迹方程。 参考答案： ⑴．∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0 ∴设直线OA的方程为（）······················2分 ∴联立方程  解得    以代上式中的，解方程组 解得    ∴A（，），B（，）。···················8分 ⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得 消去参数k，得  即为M点轨迹的普通方程。··············14分